《振動噪音科普專欄》結構數學模型：「離散系統」和「連續系統」有甚麼區別？

這個單元要來探討的主題是：結構「數學模型」：「離散系統」和「連續系統」有甚麼區別？

 

對一個結構系統進行振動分析(vibration analysis)，其中一個重要步驟就是建構結構系統的「數學模型」(mathematical model)，此步驟稱為「數學建模」(mathematical modeling)。

 

「數學模型」可以概分為兩種：「離散系統」(discrete system)和「連續系統」(continuous system)，這個單元就來探討兩者之間有甚麼差異？

 

首先，參閱圖示中間上方，假設有一個樑結構，放置在兩個彈簧上，彈簧的「彈簧常數」(spring constant)為 𝒌。當樑的上方有受到如圖示的一個負荷作用，如果，要對這個樑結構進行振動分析，就要對「實際結構」(real structure)，進行「數學建模」，以獲得結構的「數學模型」。

 

要建構「數學模型」，就要思考一下「實際結構」在受負荷的狀態與特性。

 

如果，彈簧的 𝒌值很小，也就是彈簧很軟，當樑結構受到負荷，其結構變形狀態，可以得到如圖示的左下方圖示，樑結構本身幾乎不會變形，而是呈現如接近「剛體」(rigid body)的狀態，而有整體的偏移運動。

 

另外一個可能性，如果，彈簧的 𝒌值很大，也就是彈簧很硬，例如：樑結構厚度很薄，相對的彈簧就是很硬。此時，當樑結構受到負荷，樑結構的變形狀態，可以得到如圖示的右下方圖示，樑結構本身會呈現出變形狀態，此時的樑結構，就可視為是「撓性體」(flexible body)，或稱為「彈性體」(elastic body)。

 

由以上的討論，這個「實際結構」的樑結構，可以歸納、區別出兩種「數學模型」，說明如下：

 

1.      「離散系統」(discrete system)：假設結構是「剛體」(rigid body)，所以，會是具有”有限個”自由度(“finite” degree-of-freedom, DOF)，其系統方程式是常微分方程式(ordinary differential equation, ODE)。如果是多自由度系統(MDOF system)，就會是聯立的常微分方程組。典型的「離散系統」可以區分：單自由度系統(SDOF system)以及多自由度系統(MDOF system)。

2.      「連續系統」(continuous system)：假設結構是「撓性體」(flexible body)，或稱為「彈性體」(elastic body)，因為結構本身有連續的撓性變形狀態，所以會有”無限多個”自由度(“infinite” degree-of-freedom, DOF)，其系統方程式是偏微分方程式(partial differential equation, DDE)。例如：弦樂器的琴弦側向振動、結構柱的軸向振動、軸的扭轉振動、樑的側向振動、板殼的振動、甚至任意結構形狀的振動等，都是「連續系統」。

 

其次，分別舉例來區別一下「離散系統」和「連續系統」，說明如下：

 

1.      「單自由度系統」(SDOF system)：參閱圖示中間下方，分析的是一個「單自由度系統」受到簡諧外力作用，可以觀察到質塊的振動響應動畫。此系統的「質塊」元件(mass element)，就是假設為具有集中質量的「剛體」，所以，就是一個「離散系統」。

2.      「樑結構系統」(Beam structure system)：參閱圖示右上方，是一個兩端固定的薄樑結構，此樑結構本身會有撓性變形，圖示觀察到的是，此樑結構的「振動模態」(vibration modes)，就是結構的「自然頻率」(natural frequency)以及對應的「模態振型」(mode shape)，可以觀察結構是「撓性體」或稱為「彈性體」，所以，就是一個「連續系統」。

 

綜合一下這個單元的討論，統整幾個名詞如下：

 

1.      「實際結構」(real structure)：就是所要分析的結構。

2.      「數學模型」(mathematical model)：可以概分為「離散系統」(discrete system)和「連續系統」(continuous system)。

3.      「數學建模」(mathematical modeling)：透過適當的假設(assumption)，獲得對應「實際結構」的「數學模型」。

4.      「離散系統」(discrete system)：一種「數學模型」，假設結構是「剛體」(rigid body)，所以，會是具有”有限個”自由度(“finite” degree-of-freedom, DOF)。

5.      「連續系統」(continuous system)：另一種「數學模型」，假設結構是「撓性體」(flexible body)，或稱為「彈性體」(elastic body)，所以會有”無限多個”自由度(“infinite” degree-of-freedom, DOF)。

 

實務上，「數學建模」也可以將「離散系統」和「連續系統」組合應用。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2023.03.21

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