《振動噪音科普專欄》如何判斷EMA的數據為有效的、可靠的量測？- (4)頻率響應函數有甚麼特徵？

這個單元要來探討的主題是：如何判斷EMA的數據為有效的、可靠的量測？- (4)頻率響應函數有甚麼特徵？也是這個系列的第4篇。

 

在前一個單元：#342，【如何判斷EMA的數據為有效的、可靠的量測？- (3)頻率響應函數檢查】，有完整的說明整體EMA量測數據之信號處理流程，以及「系統方塊圖」(system block diagram)的說明。

 

另外，也統整了如何判斷EMA的數據為有效的、可靠的量測？針對EMA量測數據之檢查，有3個步驟：

 

1.      「衝擊槌」(impact hammer)之外力檢查。

2.      「加速規」(accelerometer)之加速度響應檢查。

3.      「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)檢查。

 

首先，回顧一下「頻率域系統方塊圖–實驗分析」：兩側的圖示，標示為𝑮𝒋𝒋 (𝒇) 以及𝑮𝒊𝒊 (𝒇)，分別是𝑭𝒋 (𝒇) 以及𝑨𝒊 (𝒇)的「自身功率頻譜」(auto power spectrum, auto PSD)。由實驗分析，要取得𝑯𝒊𝒋(𝒇)頻率響應函數，其分析方式是：𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑮𝒋𝒊(𝒇) / 𝑮𝒋𝒋 (𝒇)。其中，𝑮𝒋𝒊(𝒇)是𝑭𝒋 (𝒇)以及𝑨𝒊 (𝒇)的「交叉功率頻譜」(cross power spectrum, cross PSD)。

 

觀察「頻率域系統方塊圖–實驗分析」的兩側，分別呈現𝑮𝒋𝒋 (𝒇)以及𝑮𝒊𝒊 (𝒇)「自身功率頻譜」auto PSD波形。其中，AVG=3，表示是3次敲擊量測的分析結果，「自身功率頻譜」auto PSD呈現出平滑曲線，這是有平均處理(averaging)的效果。系統的輸入是敲擊外力的𝑮𝒋𝒋 (𝒇)，而輸出是加速度響應的𝑮𝒊𝒊 (𝒇)。

 

這個單元要來討論的重點是：「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)，也就是𝑯𝒊𝒋(𝒇)有甚麼樣的特徵？

 

因為，𝑯𝒊𝒋(𝒇) 是個複數(complex number)，可以以不同形式畫出FRF的曲線圖，包括：

 

1.      振幅(Amplitude)：FRF曲線圖的y軸，可以以LIN (Linear)線性或LOG (Logarithmic)對數座標呈現。由LOG對數座標，可以觀察FRF曲線的微小量之響應趨勢。

2.      相位角(Phase angle)：常用單位是角度，通常取介於 –180∘到180∘之間。

3.      實數部(Real part)：複數FRF的實數部。

4.      虛數部(Imaginary part)：複數FRF的虛數部。

 

首先，觀察|𝑯𝒊𝒋(𝒇)| = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)的振幅圖，分別以LIN線性以及LOG對數座標呈現，參閱中間兩個圖示，主要觀察的重點，說明如下：

 

1.      𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)：𝒇𝒓出現在|𝑯𝒊𝒋(𝒇)|的峰值(peak)，所對應的頻率，參閱圖示，共有4個peaks，所以，結構有4個「振動模態」(vibration mode)。模態數由頻率小到大，可以標示：𝒇1、𝒇2、𝒇3、𝒇4，4個「自然頻率」。

2.      𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)：可以觀察LOG對數座標的|𝑯𝒊𝒋(𝒇)| 曲線，在𝒇𝒓附近的曲線，呈現越尖銳，則「模態阻尼比」越小。反之，在𝒇𝒓附近的曲線，呈現越平緩，則「模態阻尼比」越大。

3.      「反共振點」(anti-resonance)：出現在|𝑯𝒊𝒋(𝒇)|的尖銳波谷(peak valley)，所對應的頻率，參閱圖示，共有2個peak valleys，所以有2個「反共振點」。物理意義上，在「反共振點」的響應為零。所以，在隔振設計，也有選擇反共振點，當作良好的隔振設計。

 

其次，觀察∠𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)的相位角圖，參閱圖示，可觀察到黑色的區間，原因是+/–180∘的跳動，來自數值分析的影響。主要觀察的重點：在𝒇𝒓「自然頻率」，會有180度相位角變化。同時，在「反共振點」，也會有180度相位角變化。

 

由𝑯𝒊𝒋(𝒇)的相位角圖，在 𝒇𝒓「自然頻率」會有180度相位角變化，如果阻尼效應大的結構，在𝑯𝒊𝒋(𝒇)的振幅圖，不能有效的觀察到 𝒇𝒓，就可以透過𝑯𝒊𝒋(𝒇)的相位角圖，作為輔助診斷𝒇𝒓「自然頻率」的方法。

 

接著，觀察𝐑𝐞[𝑯𝒊𝒋(𝒇)] = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)的實數部圖，參閱圖示，主要觀察的重點：𝒇𝒓「自然頻率」會出現在交叉零點的頻率。

 

最後，觀察𝐈𝐦[𝑯𝒊𝒋(𝒇)] = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)的虛數部圖，參閱圖示，主要觀察的重點：𝒇𝒓「自然頻率」會出現在峰值(peak)所對應的頻率。

 

由於找到結構的𝒇𝒓「自然頻率」，通常是EMA實驗量測的主要目的。因此，除了觀察𝑯𝒊𝒋(𝒇)的振幅圖的峰值頻率，可以取得𝒇𝒓外，也可以運用𝑯𝒊𝒋(𝒇)的相位角圖、𝑯𝒊𝒋(𝒇)的實數部圖以及𝑯𝒊𝒋(𝒇)的虛數部圖，應用於輔助診斷𝒇𝒓「自然頻率」的方法。

 

同時，阻尼效應的大小，會和各個圖示的曲線之尖銳度相關外，相位角的180度相位角變化，如圖示的垂直式轉折180度相位角，顯示「模態阻尼比」小。反之，180度相位角變化的趨勢越平緩，則「模態阻尼比」越大。

 

另外，參閱圖示，觀察Nyquist Plot 或 Polar Plot，兩個圖示的圖形曲線是相同的，只是取得方式不同。說明如下：

 

1.      Nyquist Plot：取𝑯𝒊𝒋(𝒇)的實數部以及虛數部之數值，分別為x-軸以及y-軸，就可以得到，如圖示的4個接近圓的曲線圖。其中，一個圓，代表一個模態。由圓的大小，可以分辨出𝒇1、𝒇2、𝒇3、𝒇4，4個「自然頻率」所對應的4個「振動模態」。

2.      Polar Plot：取𝑯𝒊𝒋(𝒇)的振幅以及相位角之數值，以極座標方式，繪製FRF曲線，可以得到相同的圖示。

 

綜合一下這個單元的討論：如何判斷EMA的數據為有效的、可靠的量測？針對FRF「頻率響應函數」來探討其重要的特徵，可以分別從5種圖示，觀察𝑯𝒊𝒋 (𝒇)的特徵：

 

1.      |𝑯𝒊𝒋(𝒇)| = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)的振幅(Amplitude)圖：可以以LIN (Linear)線性或LOG (Logarithmic)對數座標呈現FRF曲線。

2.      ∠𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)的相位角(Phase angle)圖：常用單位是角度，介於 –180∘到180∘之間。

3.      𝐑𝐞[𝑯𝒊𝒋(𝒇)] = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)的實數部(Real part)圖。

4.      𝐈𝐦[𝑯𝒊𝒋(𝒇)] = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)的虛數部(Imaginary part)圖。

5.      Nyquist Plot 或 Polar Plot，兩個圖示的圖形曲線是相同的。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2023.10.18

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