《振動噪音科普專欄》「等效系統分析」：如何建構齒輪與齒條的等效系統？

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這個單元要來探討的主題是：「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)，探討如何建構「齒輪」(gear)與「齒條」(rack)的「等效系統」。

 

參閱圖示左上方，是一個原始系統：「齒輪」(gear)與「齒條」(rack)的結構示意圖，常見的一種傳動機構。如圖示「齒輪」旋轉中心是固定，「齒輪」為旋轉運動，而「齒條」為直線運動。可以是「齒輪」旋轉帶動「齒條」，也可以是「齒條」直線運動，帶動「齒輪」旋轉。

 

首先，來看系統的參數，𝒎：齒條質量 (𝐤𝐠)，𝒌：齒條彈簧常數 (𝐦/𝐍)，𝑱𝟎：齒輪質量極慣性矩 (𝐤𝐠.𝐦^2)，𝑹：齒輪節圓半徑 (𝐦)。

 

此系統的「自由度」(degree of freedom, DOF)，可以分別定義為：𝒙是「齒條」的水平方向位移，𝜽是「齒輪」的旋轉角度。兩者之間的幾何關係：𝒙=𝑹𝜽，或是𝜽=𝒙/𝑹。

 

這個單元要來對這個「齒輪」與「齒條」結構，取得其「等效系統」，就可以快速分析此系統的「自然頻率」(natural frequency) 𝒇𝒏 (Hz)。

 

要探討的「等效系統」，可以從兩個角度來看：

 

1.      自由度𝒙(𝒕)等效系統

2.      自由度𝜽(𝒕)等效系統

 

如果是以自由度𝒙(𝒕)為基準，參閱圖示左邊中間的等效系統，需要界定𝒎𝒆𝒒「等效彈簧常數」和 𝒌𝒆𝒒「等效彈簧常數」，關於SDOF「平移」(translational)振動系統，參閱圖片左下方的系列圖示，說明如下：

 

1.      當取得了SDOF單自由度系統的「等效系統」(Equivalent System)：可取得System 系統參數：就是𝒎𝒆𝒒、𝒄𝒆𝒒、𝒌𝒆𝒒，分別是「等效質量」(kg)、「等效黏滯阻尼係數」(N / m/s)、「等效彈簧常數」(N / m)。

2.      推導得到系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM)：除了System 系統參數以及Output 輸出參數，位移𝒙(𝒕)/速度𝒙 ̇(𝒕)/加速度𝒙 ̈(𝒕)，還包括：Input 輸入參數：外力 𝒇(𝒕) (N)，和兩個初始條件(IC)，初始位移：𝒙𝟎 (m)，和初始速度：𝒗𝟎 (m/s)。

3.      進而可以進行「模態分析」(modal analysis)：可以得到「模態參數」(modal parameter)：「自然頻率」(natural frequency) 𝒇𝒏 (Hz)以及「阻尼比」(damping ratio) 𝝃。

4.      評估「共振」(resonance)：即可據以評估結構系統是否有「共振」，也就是在比較探討外力 𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)和系統的𝒇𝒏「自然頻率」。如果，𝒇𝒆 ≅ 𝒇𝒏，就會「共振」，反之，就沒有「共振」。

 

第二個方式的等效系統，以自由度𝜽(𝒕)為基準，參閱圖示右邊中間的等效系統，需要界定 𝑱𝟎,𝒆𝒒「等效質量慣性矩」(kg-𝐦^𝟐)和 𝒌𝜽,𝒆𝒒「等效旋轉彈簧常數」(N-m/rad)。關於SDOF「旋轉」(rotational)振動系統，參閱圖片右下方的系列圖示，說明如下：

 

1.      當取得了SDOF單自由度系統的「等效系統」(Equivalent System)：可取得System 系統參數：就是𝑱𝟎,𝒆𝒒、𝒄𝜽,𝒆𝒒、𝒌𝜽,𝒆𝒒，分別是「等效質量慣性矩」(kg-𝐦^𝟐)、「等效旋轉阻尼係數」(N-m / rad/s)、「等效旋轉彈簧常數」(N-m/rad)。

2.      推導得到系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM)：除了System 系統參數以及Output 輸出參數，角度𝜽(𝒕)/角速度𝜽  ̇(𝒕)/角加速度𝜽  ̈(𝒕)，還包括：Input 輸入參數：外力矩 𝑻(𝒕) (N-m)，和兩個初始條件(IC)，初始角度：𝜽𝟎 (rad)，和初始角速度：𝝎𝟎 (rad/s)。

3.      進而可以進行「模態分析」(modal analysis)：可以得到「模態參數」(modal parameter)：「自然頻率」(natural frequency) 𝒇𝒏 (Hz)以及「阻尼比」(damping ratio) 𝝃。

4.      評估「共振」(resonance)：即可據以評估結構系統是否有「共振」，也就是在比較探討外力 𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)和系統的𝒇𝒏「自然頻率」。如果，𝒇𝒆 ≅ 𝒇𝒏，就會「共振」，反之，就沒有「共振」。

 

接著，就來看如何進行「等效系統」分析，在此以「能量守恆」的角度來看，一個結構系統可以取得系統的「動能」(kinetic energy)和「潛能」(potential energy)。以「齒輪」與「齒條」結構的原始系統，可以分別得到：

 

1.      「動能」：𝑻 = 𝟏/𝟐 𝒎𝒙 ̇^𝟐 + 𝟏/𝟐 𝑱𝟎 𝜽 ̇^𝟐。

2.      「潛能」：𝑽 = 𝟏/𝟐 𝒌𝒙^𝟐。

 

其中，只要物體有質量，就會有「動能」，分別來自「齒條」和「齒輪」，分別有兩個來源的「動能」。有彈簧元件就會有「潛能」，在此系統只有一個 𝒌，所以，「潛能」只有一項。

 

觀察兩個等效系統，也可以分別得到，此等效系統的「動能」和「潛能」，分別如下：

 

1.      自由度𝒙(𝒕)等效系統：「動能」：𝑻 = 𝟏/𝟐 𝒎_𝒆𝒒  𝒙 ̇^𝟐。「潛能」：𝑽=𝟏/𝟐 𝒌𝒆𝒒 𝒙^𝟐。

2.      自由度𝜽(𝒕)等效系統：「動能」：𝑻 = 𝟏/𝟐 𝑱𝟎,𝒆𝒒 𝜽 ̇^𝟐。「潛能」：𝑽 = 𝟏/𝟐 𝒌𝜽,𝒆𝒒 𝜽^𝟐。

 

因為是等效系統，所以「等效系統」的「動能」和「潛能」，應該和「原始系統」的「動能」和「潛能」要相等。透過此系統的「自由度」𝒙 和 𝜽的關係，可以推導出兩個等效系統的系統參數，推導過程請讀者參閱圖示，彙整如下：

 

1.      自由度𝒙(𝒕)等效系統：𝒎𝒆𝒒 = 𝒎 + 𝑱𝟎/𝑹^𝟐。𝒌𝒆𝒒 = 𝒌。

2.      自由度𝜽(𝒕)等效系統：𝑱𝟎,𝒆𝒒 = 𝒎𝑹^𝟐 + 𝑱𝟎。𝒌𝜽,𝒆𝒒 = 𝒌𝑹^𝟐。

 

綜合一下這個單元的討論，總結如下：

 

1.      探討的原始系統：「齒輪」與「齒條」結構系統，

2.      建構兩個「等效系統」：分別以自由度𝒙(𝒕)為基準，或是以自由度𝜽(𝒕)為基準。

3.      進行「等效系統」分析：以「能量守恆」的角度來看，一個結構系統可以取得系統的「動能」(kinetic energy)和「潛能」(potential energy)。

4.      分析取得「等效系統」的系統參數：如自由度𝒙(𝒕)等效系統：𝒎𝒆𝒒 = 𝒎 + 𝑱𝟎/𝑹^𝟐。𝒌𝒆𝒒 = 𝒌。以及自由度𝜽(𝒕)等效系統：𝑱𝟎,𝒆𝒒 = 𝒎𝑹^𝟐 + 𝑱𝟎。𝒌𝜽,𝒆𝒒 = 𝒌𝑹^𝟐。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2023.09.12



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