《振動噪音科普專欄》¼車輛行駛模型(Quarter Car Model) – (3)暫態響應分析(Transient Response Analysis)

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這個單元要來探討的主題是：【¼車輛行駛模型】 (Quarter Car Model) – (3) 「暫態響應分析」(Transient Response Analysis)。這是這個系列的第三篇。

 

在先前單元：#318，【如何建構「離散系統」的「數學模型」？- 車輛行駛模型(Vehicle Riding Model)】，介紹了【¼車體模型】的「數學建模」(mathematical modeling)，以取得對應於「實際結構」的等效「數學模型」(mathematical model)。

 

首先回顧一下，先前單元：#314，【車輛動力學(Vehicle Dynamic)：如何定義車體的自由度(DOF)？】，參閱圖示左上方示意圖，是「車輛動力學」對汽車慣用的DOF定義與變數符號，就是：𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝝓, 𝜽, 𝝍，分別是3個方向位移/平移「自由度」(displacement DOF)，以及3個方向旋轉「自由度」(rotational DOF)：

 

𝒙 的 縱向位移(longitudinal displacement)

𝒚 的 側向位移(lateral displacement)

𝒛 的 垂直位移(vertical displacement)

𝝓 的 翻滾角度(roll angle)

𝜽 的 前傾角度(pitch angle)

𝝍 的 旋轉角度(yaw angle)

 

參閱圖片左下方，以一個很簡化的【¼車體行駛動態分析模型】為例做說明。初步的假設呢，一部汽車會有4個輪子，此模型假設汽車的左右、前後對稱，所以只取了一個輪子，因此稱為【¼車體模型】(quarter car model)。

 

針對「離散系統」(discrete system)的「數學建模」，有7個步驟，包括：

 

1. 定義系統之質塊元件：

2. 定義系統之連接元件：

3. 定義系統之自由度：

4. 定義系統之邊界條件：

5. 定義系統之輸入條件：

6. 定義系統之初始條件：

7. 定義有興趣之系統輸出參數：

 

可以得到圖片中間下方的【¼車體行駛動態分析模型】。

 

要分析這個【¼車體模型】(quarter car model)，會有4種分析：

 

(1)   系統之模態參數(modal parameters)：「自然頻率」(natural frequency )𝒇𝒓，「模態振型」(mode shape)𝝓𝒓，「模態阻尼比」(modal damping ratio)𝝃𝒓。必須進行「模態分析」(modal analysis)。

(2)   系統之頻率響應函數FRF (frequency response function)：在此會有興趣的是，位移傳輸比(displacement transmissibility)=𝑻𝒓=𝑿𝒓(𝒇)/𝒀(𝒇)，𝒓=𝟏,𝟐,𝟑。必須進行「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)。

(3)   系統的位移/速度/加速度之時間域響應：探討行駛於不同路面狀態的響應 𝒙(𝒕) , 𝒗(𝒕), 𝒂(𝒕)。必須進行「暫態響應分析」(transient response analysis)。

(4)   系統的位移/速度/加速度之頻率域響應：探討行駛於隨機路面狀態的響應 𝑿(𝒇) , 𝑽(𝒇), 𝑨(𝒇)。必須進行「頻譜響應分析」(spectrum response analysis)。

 

本單元的重點，主要在討論「暫態響應分析」(Transient response analysis)。

 

要對這個系統，進行後續的分析，就需要推導系統的「運動方程式」(equation of motion, EOM)，參閱圖示中間上方，可以得到「基座激振多自由度系統」的通式如下：

 

[𝑀]{𝑥 ̈}+[𝐶]{𝑥 ̇}+[𝐾]{𝑥}=[𝐶’]{𝑦 ̇}+[𝐾’]{𝑦}

 

在此，要進行「暫態響應分析」，參閱圖示右上方，基本理念說明如下：

 

1.      路面位移輸入 𝒚(𝒕)是半正弦波的突起路面：當車速= 𝑉，半正弦波的位移振幅= 𝑌，半正弦波的全波長= 𝐿，則𝒚(𝒙)可以改寫為𝒚(𝒕)。𝒚(𝒕)=𝑌 sin2 𝜋(𝑉/𝐿)𝑡,0<𝑡<𝐿/2𝑉。𝒚(𝒕)=0,𝑡≥𝐿/2𝑉。其中，𝒇= 𝑉/𝐿=半正弦波的頻率。因此，完成了路面位移輸入 𝒚(𝒕)之定義。

2.      要模擬分析求得系統自由度的位移時間域響應：𝒙𝒓(𝒕)，𝒓=𝟏,𝟐,𝟑。也就是分析汽車通過半正弦波的突起路面，要瞭解車體不同部位的振動情形，特別是隨時間變化的狀態。

 

「暫態響應分析」，主要在求得系統的位移/速度/加速度之時間域響應，參閱圖示右下方，是採用「有限元素分析」(finite element analysis, FEA)的分析結果，所呈現的動畫，重點說明如下：

 

1.      模擬車輛行駛於半正弦波的突起路面，輪胎與地面接觸，受到路面位移輸入 𝒚(𝒕)的激振。

2.      質塊𝒎𝟏是輪軸的位移𝒙𝟏 (𝒕)，在通過突起路面時，有較大的位移響應，隨後有逐漸衰減的振盪現象，主要來自阻尼效應。

3.      質塊𝒎2和𝒎3是底盤和座位的位移𝒙2 (𝒕)和𝒙3 (𝒕)，振動的量值就比較小，也都分別有來回振盪的現象。

4.      由𝒙𝟏 (𝒕)、𝒙2 (𝒕)和𝒙3 (𝒕)的位移時間波形，可以觀察有合理的波動現象，完成了「暫態響應分析」。

 

綜合一下這個單元的討論，是針對【¼車體行駛動態分析模型】，也就是【¼車體模型】(quarter car model)。著重於「暫態響應分析」(transient response analysis)的理念說明，可以求得系統的位移/速度/加速度之時間域響應。分析步驟，包括：

 

1.      推導系統的「運動方程式」(equation of motion, EOM)：得到「基座激振多自由度系統」的通式，[𝑀]{𝑥 ̈}+[𝐶]{𝑥 ̇}+[𝐾]{𝑥}=[𝐶’]{𝑦 ̇}+[𝐾’]{𝑦}。

2.      進行「暫態響應分析」(transient response analysis)：需要明確的定義路面位移輸入 𝒚(𝒕)，在此分析的是，模擬車輛行駛於半正弦波的突起路面，可以得到車體系統的輪軸 𝒙𝟏 (𝒕)、底盤 𝒙2 (𝒕)和座位 𝒙3 (𝒕)的位移時間波形。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2023.05.16










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