《振動噪音科普專欄》¼車輛行駛模型(Quarter Car Model) – (2)簡諧響應分析(Harmonic Response Analysis)

這個單元要來探討的主題是：【¼車輛行駛模型】 (Quarter Car Model) – (2) 「簡諧響應分析」(Harmonic Response Analysis)。這是這個系列的第二篇。

 

在先前單元：#318，【如何建構「離散系統」的「數學模型」？- 車輛行駛模型(Vehicle Riding Model)】，介紹了【¼車體模型】的「數學建模」(mathematical modeling)，以取得對應於「實際結構」的等效「數學模型」(mathematical model)。

 

首先回顧一下，先前單元：#314，【車輛動力學(Vehicle Dynamic)：如何定義車體的自由度(DOF)？】，參閱圖示左上方示意圖，是「車輛動力學」對汽車慣用的DOF定義與變數符號，就是：𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝝓, 𝜽, 𝝍，分別是3個方向位移/平移「自由度」(displacement DOF)，以及3個方向旋轉「自由度」(rotational DOF)：

 

𝒙 的 縱向位移(longitudinal displacement)

𝒚 的 側向位移(lateral displacement)

𝒛 的 垂直位移(vertical displacement)

𝝓 的 翻滾角度(roll angle)

𝜽 的 前傾角度(pitch angle)

𝝍 的 旋轉角度(yaw angle)

 

參閱圖片左下方，以一個很簡化的【¼車體行駛動態分析模型】為例做說明。初步的假設呢，一部汽車會有4個輪子，此模型假設汽車的左右、前後對稱，所以只取了一個輪子，因此稱為【¼車體模型】(quarter car model)。

 

針對「離散系統」(discrete system)的「數學建模」，有7個步驟，包括：

 

1. 定義系統之質塊元件：

2. 定義系統之連接元件：

3. 定義系統之自由度：

4. 定義系統之邊界條件：

5. 定義系統之輸入條件：

6. 定義系統之初始條件：

7. 定義有興趣之系統輸出參數：

 

可以得到圖片中間下方的【¼車體行駛動態分析模型】。

 

要分析這個【¼車體模型】(quarter car model)，會有4種分析：

 

(1)   系統之模態參數(modal parameters)：「自然頻率」(natural frequency )𝒇𝒓，「模態振型」(mode shape)𝝓𝒓，「模態阻尼比」(modal damping ratio)𝝃𝒓。必須進行「模態分析」(modal analysis)。

(2)   系統之頻率響應函數FRF (frequency response function)：在此會有興趣的是，位移傳輸比(displacement transmissibility)=𝑻𝒓=𝑿𝒓(𝒇)/𝒀(𝒇)，𝒓=𝟏,𝟐,𝟑。必須進行「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)。

(3)   系統的位移/速度/加速度之時間域響應：探討行駛於不同路面狀態的響應 𝒙(𝒕) , 𝒗(𝒕), 𝒂(𝒕)。必須進行「暫態響應分析」(transient response analysis)。

(4)   系統的位移/速度/加速度之頻率域響應：探討行駛於隨機路面狀態的響應 𝑿(𝒇) , 𝑽(𝒇), 𝑨(𝒇)。必須進行「頻譜響應分析」(spectrum response analysis)。

 

本單元的重點，主要在討論「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)。

 

要對這個系統，進行後續的分析，就需要推導系統的「運動方程式」(equation of motion, EOM)，參閱圖示中間上方，可以得到「基座激振多自由度系統」的通式如下：

 

[𝑀]{𝑥 ̈}+[𝐶]{𝑥 ̇}+[𝐾]{𝑥}=[𝐶’]{𝑦 ̇}+[𝐾’]{𝑦}

 

回顧前一個單元的「模態分析」：由系統「運動方程式」的[𝑀]、[𝐶]、[𝐾]矩陣，就可以進行「模態分析」，以求得系統的「模態參數」(modal parameters)。由於此系統有3個自由度，所以，會有3個「振動模態」(vibration mode)，每個「振動模態」會有：

 

1.      「自然頻率」(natural frequency)𝒇𝒓：𝒇1=1.2125 Hz、𝒇2=4.6601 Hz、𝒇3=10.7113 Hz。

2.      「模態阻尼比」(modal damping ratio)𝝃𝒓：𝝃1=0.0381、𝝃2=0.1461、𝝃3=0.3365。

3.      「模態振型」(mode shape)𝝓𝒓：{𝝓1}、{𝝓2}、{𝝓3}，分別是3x1的「位移模態振型向量」 (displacement mode shape vector)。

 

在此，要進行「簡諧響應分析」，參閱圖示右上方，基本理念說明如下：

 

1.      路面位移輸入 𝒚(𝒕)是簡諧波：𝒚(𝒕)=𝒀𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)。其中，𝒀是簡諧位移振幅，而𝝎是簡諧激振頻率。

2.      系統自由度的位移，也是簡諧響應：𝒙𝒓(𝒕)=𝑿𝒓 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕−𝝓𝒓 )，𝒓=𝟏,𝟐,𝟑。其中，𝒙𝒓(𝒕)是第𝒓個自由度的簡諧響應位移振幅，而𝝓𝒓是第𝒓個自由度與𝒚(𝒕)簡諧位移輸入的相位角差。

 

「簡諧響應分析」，主要在求得輸出與輸入之間的比值，𝑯(𝒇)= 𝑿𝒓(𝒇)/𝒀(𝒇)，就是「頻率響應函數」FRF (frequency response function)，由於輸出與輸入參數都是位移，所以，此𝑯(𝒇)，稱為「位移傳輸比」(displacement transmissibility) =𝑻𝒓=𝑿𝒓(𝒇)/𝒀(𝒇)，𝒓=𝟏,𝟐,𝟑。

 

參閱圖示右下方，是此系統3個自由度的「位移傳輸比」，其主要特徵說明如下：

 

1.      每一個自由度的「位移傳輸比」曲線，可以看到有3個峰值(peaks)，此峰值對應的頻率，會是系統的「自然頻率」。

2.      第一個峰值，可以觀察到比較尖銳，而另兩個峰值，明顯比較平緩，這是因為「模態阻尼比」𝝃𝒓的關係：𝝃1=0.0381、𝝃2=0.1461、𝝃3=0.3365。𝝃1=0.0381比較小，所以，峰值比較尖銳，當「模態阻尼比」大，如𝝃2=0.1461、𝝃3=0.3365，峰值尖銳度就比較平緩。

3.      須注意「位移傳輸比」會是複數(complex number)，圖示的「位移傳輸比」顯示的是其振幅值(amplitude)。

 

綜合一下這個單元的討論，是針對【¼車體行駛動態分析模型】，也就是【¼車體模型】(quarter car model)。著重於「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)的理念說明，可以求得系統的「頻率響應函數」FRF (frequency response function)。分析步驟，包括：

 

1.      推導系統的「運動方程式」(equation of motion, EOM)：得到「基座激振多自由度系統」的通式，[𝑀]{𝑥 ̈}+[𝐶]{𝑥 ̇}+[𝐾]{𝑥}=[𝐶’]{𝑦 ̇}+[𝐾’]{𝑦}。

2.      進行「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)：可以得到𝑯(𝒇)「頻率響應函數」FRF (frequency response function)。由於輸出與輸入參數都是位移，所以，此𝑯(𝒇)，又稱為「位移傳輸比」(displacement transmissibility) =𝑻𝒓=𝑿𝒓(𝒇)/𝒀(𝒇)，𝒓=𝟏,𝟐,𝟑。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2023.05.16

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