這個單元要來探討的主題是：如何建構「離散系統」(discrete system)的「數學模型」(mathematical model)？-
以【搖頭娃娃】為例。
要進行一個結構的「振動分析」(vibration analysis)，建構「數學模型」(mathematical model)是一個重要步驟，稱為「數學建模」(mathematical modeling)。也就是將「實際結構」(real structure)做適當的假設，以能夠得到對應於「實際結構」的等效「數學模型」(mathematical model)。
參考先前單元：#312，【如何進行一個結構系統的振動分析？】，首先快速回顧一下，典型之振動問題解析流程，可以歸納如下幾個步驟：
1. 工程問題描述(problem description)：
2. 定義問題(define problem)及擬定分析目標(analysis objectives)：
3. 建構「數學模型」(mathematical model) =「數學建模」(mathematical modeling)：
4. 分析：
5. 結果討論與評估：
6. 報告：
可參閱圖1，左側列出詳細的步驟說明：
1. 工程問題描述(problem description)：建議採用：【4個What】的心法，(1) What to know? 想要知道甚麼？(2) What to get? 需要得到甚麼？(3) What to do? 必須做甚麼？(4) What to show? 應該呈現甚麼？
2. 定義問題(define problem)及擬定分析目標(analysis objectives)：在定義問題(define problem)，建議採用的心法：ISO / SPR / FGMBIR。分別是：(1) Input →
System →
Output、(2) Source →
Path →
Response、(3) Force →
GMBI →
Response。
3. 建構「數學模型」(mathematical model)：「數學模型」可以概分為兩種：(1)「離散系統」(discrete system)和
(2)「連續系統」(continuous system)。參閱圖1右上方圖示，(1)「離散系統」(discrete system)：一種「數學模型」，假設結構是「剛體」(rigid body)，所以，會是具有”有限個”自由度(“finite” degree-of-freedom, DOF)。(2) 「連續系統」(continuous system)：另一種「數學模型」，假設結構是「撓性體」(flexible body)，或稱為「彈性體」(elastic body)，所以會有”無限多個”自由度(“infinite” degree-of-freedom,
DOF)。
4. 分析：進行對應的分析，主要的分析類型，包括：(1)「模態分析」(modal analysis)，(2)「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)，(3) 「暫態響應分析」(transient response analysis)，(4)「頻譜響應分析」(spectrum response analysis)。
5. 結果討論與評估：針對分析結果，提出對應的討論與評估，重點在評估是否能夠解答問題描述的想要知道甚麼？
6. 報告：撰寫報告，不外是書面報告(documentation)，以及必要的口頭報告(oral presentation)。
這個單元著重在討論：如何建構「數學模型」(mathematical model)？也就是「數學建模」(mathematical modeling)的步驟。進行「數學建模」的重要目標，在取得合理性(Reasonable)、正確性(Correct)、適宜性(Adaptation)的「數學模型」，是後續振動模擬分析成功與否之關鍵！
這個單元，將以「離散系統」(discrete system)，探討說明建構「數學模型」(mathematical model)的7個步驟，包括：
1. 定義系統之質塊元件：
2. 定義系統之連接元件：
3. 定義系統之自由度：
4. 定義系統之邊界條件：
5. 定義系統之輸入條件：
6. 定義系統之初始條件：
7. 定義有興趣之系統輸出參數：
參閱圖2，是「離散系統」的「數學建模」步驟。「數學建模」主要目的，在對「實際結構」(real structure)做適當的假設，進行「數學建模」(mathematical modeling)，以能得到對應「實際結構」的「數學模型」(mathematical model)。在此以【搖頭娃娃】為例做說明。
首先觀察圖2，左下方是「實際結構」：【搖頭娃娃】，其主要結構就是一個質塊與彈簧，【搖頭娃娃】受到敲擊、或拉扯後，娃娃頭的質塊會有跳動情形。所以，質塊會有3個方向位移/平移「自由度」：𝒙,𝒚,𝒛，以及3個方向旋轉「自由度」：𝜽𝒙,𝜽𝒚,𝜽𝒛。
在此，希望建構一個適當的「數學模型」，以能夠模擬分析這個【搖頭娃娃】的運動狀態。所以就要進行「數學建模」，依照建議的步驟，逐項說明如下：
1. 定義系統之質塊元件：就是Mass element。以一個質量塊𝒎，代表【搖頭娃娃】的質塊。
2. 定義系統之連接元件：就是Connection elements，K & C。也就是分別以一個彈簧常數𝒌和黏滯阻尼係數𝒄，代表【搖頭娃娃】的垂直方向彈簧效應。因為，主要的振動在垂直方向。
3. 定義系統之自由度：就是Degree-of-Freedom (DOF)。雖然質量塊𝒎有6個自由度，但是，在連接元件，只定義了垂直方向的彈簧效應，所以，只需考慮此系統的垂直方向的位移，也就是「自由度」𝒚(𝒕)。
4. 定義系統之邊界條件：就是Boundary。如圖示的基座是固定的。
5. 定義系統之輸入條件：就是Input或Loading。可以合理定義作用在質量塊𝒎上的垂直方向外力是
𝒇(𝒕)。
6. 定義系統之初始條件：就是Initial Condition (I.C.)。必須要定義「自由度」𝒚(𝒕) 的I.C.，包括：初始位移𝒚𝟎和初始速度𝒚 ̇𝟎。
7. 定義有興趣之系統輸出參數：就是Interested Output Variables。(1)系統之模態參數：自然頻率𝒇𝒏&阻尼比𝝃。(2)位移/速度/加速度之時間域響應
𝒚(𝒕) , 𝒗(𝒕), 𝒂(𝒕)。(3)反作用力之時間域響應𝒇𝑹(𝒕)。
完成了以上「數學建模」的7個步驟，可以得到如圖2右下方的【搖頭娃娃】之「數學模型」，是一個「SDOF黏滯阻尼系統」。
也可以由【ISO系統流程圖】來觀察「數學模型」，參閱圖2右上方圖示，ISO的說明如下：
1. Input variables 輸入參數：包括：外力 𝒇(𝒕)。以及I.C.，包括：初始位移𝒚𝟎和初始速度𝒚 ̇𝟎。
2. System variables 系統參數：包括：質量塊𝒎，黏滯阻尼係數𝒄和彈簧常數𝒌。
3. Output variables 輸出參數：包括：「自由度」響應 𝒚(𝒕), 𝒗(𝒕), 𝒂(𝒕)。反作用力𝒇𝑹(𝒕)。
以上所列出的參數，都是物理參數(physical parameters)，都是可以度量的物理量(physical quantity)，所以稱此流程圖是：物理域(physical domain)的【ISO系統流程圖】。
另外，也可以畫出模態域(modal domain)的【ISO系統流程圖】，其中，系統參數是自然頻率𝒇𝒏&阻尼比𝝃。
綜合一下這個單元的討論，為了探討如何建構「離散系統」(discrete system)的「數學模型」(mathematical model)？重點摘要如下：
1. 典型之振動問題解析流程，可以歸納出6個步驟。
2. 建構「數學模型」(mathematical model)。「數學模型」可以區分為：(1)「離散系統」(discrete system)。(2) 「連續系統」(continuous system)。
3. 針對「離散系統」(discrete system)的「數學建模」(mathematical modeling)，有7個步驟。
4. 以【搖頭娃娃】為例，說明「數學建模」的完整流程步驟。
5. 可以得到了【搖頭娃娃】的「數學模型」，是一個「SDOF黏滯阻尼系統」。
6. 最後，介紹了物理域(physical domain)和模態域(modal domain)的【ISO系統流程圖】
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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| 圖1、如何建構「離散系統」的「數學模型」？ |
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| 圖2、「離散系統」 的「建構數學模型」步驟 |
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