這個單元要來探討的主題是：可以採用「靜力分析」(static analysis)於結構之「疲勞設計」(fatigue design)嗎？簡單的答案：是，可以的！
首先，就來看如何評估「結構」是否會發生「疲勞破壞」(fatigue failure)？可以觀察圖示右上方，顯示一個懸臂樑結構受到了上下擺動的結構波動應力(fluctuation stress)變化之動畫，動畫左側是結構之波動應力：𝝈𝒔𝒕 (𝒕)
示意圖，由圖示的波動應力特徵，可以得知：
1. 波動應力(S)之𝝈𝒂，應力振幅(stress amplitude)：𝝈𝒂就是正弦波的振幅值(amplitude)。
2. 波動應力(S)之𝝈𝒎，平均應力(mean stress)：𝝈𝒎在正弦波的平均值為零，但是有些情況，如圖示範例的結構波動應力(S)之𝝈𝒎，就不是等於零。
當然，要獲得如上圖示的結構波動應力：𝝈𝒔𝒕 (𝒕)，理念上，是需要進行對應的「振動分析」(vibration analysis)，不過，本單元將介紹如何以「靜力分析」的方式，來取得結構之波動應力，並完成「疲勞設計」分析。
要進行「疲勞設計」分析，回顧先前單元的討論，#308，【如何評估結構是否會發生「疲勞破壞」(fatigue failure)？】，可以歸納以下四個步驟：
1. 取得結構的材料機械性質：包括：「抗拉強度」(ultimate strength)，𝑺𝒖𝒕，以及對應特定壽命次數(N)的材料「疲勞強度」(Fatigue strength)，𝑺’𝒆。
2. 計算機械元件之「疲勞強度」(Fatigue strength)，𝑺𝒆。
3. 分析機械元件之「結構應力」(structural stress)，𝝈𝒔𝒕 (𝒕)。
4. 應用疲勞設計曲線，判斷結構的機械元件是否會「疲勞破壞」(fatigue failure)。
第一個步驟：需要取得結構的材料機械性質：包括：「抗拉強度」(ultimate strength)，𝑺𝒖𝒕，以及對應特定壽命次數(N)的材料「疲勞強度」(Fatigue strength)，𝑺’𝒆。
其中，材料的「抗拉強度」(ultimate strength)，一般可由拉伸試驗取得，其物理意義，在「S-N 曲線圖」，當N=1時，就是應力波動一次就斷裂。如圖示範例，其承載的波動應力(S)之應力振幅𝝈𝒂，大約是S=325 MPa，也就是材料的「抗拉強度」(ultimate strength)，𝑺𝒖𝒕=325 MPa。
根據設定的壽命次數(N)，以取得對應的波動應力(S)之應力振幅𝝈𝒂。如果是選定N=無限壽命，一般認定，在N=10的6次方以上，會有無限的壽命(infinite life)，在此N值，如圖示範例，對應的波動應力(S)之應力振幅𝝈𝒂，大約是S=210 MPa，所以材料的「疲勞強度」(Fatigue strength)，𝑺’𝒆=210 MPa。因為是N=無限壽命，材料的「疲勞強度」也可稱為材料的「疲勞極限」(Endurance limit)，𝑺’𝒆=210 MPa。
第二個步驟：要計算修正得到機械元件之「疲勞強度」(Fatigue strength)，𝑺𝒆。為什麼要做這樣的修正呢？因為材料的「疲勞強度」是以標準的材料試件(specimen)，進行疲勞試驗(fatigue test)所得到的，而實際結構有加工、尺寸大小、工作溫度環境、或如電鍍處理、或惡劣工作環境等之影響，會降低材料的「疲勞強度」，所以，需要計算修正得到機械元件之「疲勞強度」(Fatigue strength)，𝑺𝒆。
機械元件之「疲勞強度」(Fatigue strength)，𝑺𝒆，修正計算方式如下：
𝑺𝒆=𝑲𝒂 𝑲𝒃 𝑲𝒄 𝑲𝒅
𝑲𝒆 𝑲𝒇 𝑺’𝒆
其中，
𝑺𝒆：機械元件的「疲勞強度」(Fatigue strength)
𝑺’𝒆：材料的「疲勞強度」(Fatigue strength)
𝑲𝒂：表面修正因子
𝑲𝒃：尺寸因子
𝑲𝒄：可靠度因子
𝑲𝒅：溫度因子
𝑲𝒆：應力集中因子
𝑲𝒇：其他因子
注意：所有的𝑲值大都是介於0~1之間，也就是這些環境、條件因子會降低材料的「疲勞強度」(Fatigue strength)，𝑺’𝒆。因此，一般的狀況：機械元件的「疲勞強度」𝑺𝒆 會小於材料的「疲勞強度」𝑺’𝒆，也就是：𝑺𝒆 < 𝑺’𝒆。
第三個步驟，要進行分析，取得實際結構在負荷狀態下，機械元件之「結構應力」(structural stress)，𝝈𝒔𝒕 (𝒕)，也就是隨時間變化的「結構應力」。
參閱圖示中間顯示的結構波動應力(fluctuation stress)：𝝈𝒔𝒕 (𝒕)特徵，在此步驟，必須區別出：波動應力(S)之𝝈𝒂，應力振幅(stress amplitude)，和波動應力(S)之𝝈𝒎，平均應力(mean stress)。
理念上，是需要進行對應的「振動分析」(vibration analysis)，在此懸臂樑結構受到了上下擺動的結構波動應力(fluctuation stress)，可以分別假設：有向下和向上的兩種負荷條件，分別據以進行「靜力分析」，參閱圖示右邊中間圖示，可以得到各項應力，包括：(𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛) 3個正向應力(normal stress)，和(𝝉_𝒙𝒚,𝝉_𝒚𝒛,𝝉_𝒛𝒙) 3個剪應力(shear stress)。由正向應力和剪應力可以推算出3個主應力Principal stress，𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑，通常令𝝈𝟏>𝝈𝟐>𝝈𝟑。也可得到𝝈𝒆𝒒𝒗，是等效應力Equivalent/Effective stress，也稱為麥西斯應力von Mises stress。
由懸臂樑結構受到向下和向上的兩種負荷條件，可以分別得到兩個狀態的結構應力，在此建議選用的應力是𝝈𝒆𝒒𝒗，是等效應力Equivalent/Effective stress，也稱為麥西斯應力von Mises stress，也就是應力振幅(stress amplitude) 𝝈𝒂=𝝈𝒆𝒒𝒗。
要注意的是，結構上每一個位置都有其結構應力，而通常有興趣的就是最大應力出現的位置，就可以針對該位置，進行後續的「疲勞設計」分析。
當透過「靜力分析」，取得了波動應力(S)之𝝈𝒂，應力振幅(stress amplitude)，和波動應力(S)之𝝈𝒎，平均應力(mean stress)。其次，就可以進行第四個步驟：應用疲勞設計曲線，判斷結構的機械元件是否會「疲勞破壞」(fatigue failure)？
在此，採用的Goodman
Line疲勞設計曲線，參閱右下方圖示，應用步驟說明如下：
1. 設定：水平軸–𝝈𝒎，平均應力(mean stress)，垂直軸–𝝈𝒂，應力振幅(stress amplitude)。
2. 在水平軸，標註：𝑺𝒖𝒕「抗拉強度」(ultimate strength)，在垂直軸，標註：𝑺𝒆 機械元件的「疲勞強度」(Fatigue strength)。將兩點連成直線，得到Goodman
Line疲勞設計曲線。
3. 將第三個步驟，分析結構應力，所取得的𝝈𝒎，平均應力(mean stress)以及𝝈𝒂，應力振幅(stress amplitude)，繪製取得𝝈𝒎和𝝈𝒂的交點位置。
4. 判斷𝝈𝒎和𝝈𝒂的交點位置，在Goodman
Line疲勞設計曲線的安全區(safety zone)：當𝝈𝒎和𝝈𝒂的交點，座落於圖示的綠色區域，也就是Goodman Line之下，表示此結構的機械元件，沒有「疲勞破壞」之虞，不會發生「疲勞破壞」(fatigue failure)。
5. 判斷𝝈𝒎和𝝈𝒂的交點位置，在Goodman
Line疲勞設計曲線的「疲勞破壞區」(fatigue failure zone)：當𝝈𝒎和𝝈𝒂的交點，座落於圖示的紅色區域，也就是Goodman Line之上，表示此結構的機械元件，會發生「疲勞破壞」(fatigue failure)。
最後，綜合一下這個單元的討論，是否可以採用「靜力分析」(static analysis)於結構之「疲勞設計」(fatigue design)嗎？原則上，是可行的。重點摘要如下：
1.
必須瞭解「疲勞設計」分析的四個步驟。
2.
必須取得實際結構在負荷狀態下，機械元件之「結構應力」(structural stress)，𝝈𝒔𝒕 (𝒕)，也就是隨時間變化的「結構應力」。
3.
可以採用等效的「靜力分析」方法，以取代「振動分析」，重點在明確的取得波動應力(S)之𝝈𝒂，應力振幅(stress amplitude)，和波動應力(S)之𝝈𝒎，平均應力(mean stress)。
4.
當進行「靜力分析」得到的結構應力，建議選用的應力是𝝈𝒆𝒒𝒗，是等效應力Equivalent/Effective stress，也稱為麥西斯應力von Mises stress，也就是應力振幅(stress amplitude) 𝝈𝒂=𝝈𝒆𝒒𝒗。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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