這個單元要來探討的主題是:甚麼是「破壞理論」(Failure Theory)?如何應用於結構「安全性」(Safety)評估?
在前一個單元:#290,【如何進行結構的「安全性」評估?】,參閱圖示右上方的案例:懸臂樑受均佈壓力之靜力分析,可以得到各種類型的結構應力,包括:𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛,𝝉𝒙𝒚,𝝉𝒚𝒛, 𝝉𝒙𝒛,就是3個方向的正向應力Normal
stress以及3個方向的剪應力Shear stress。由正向應力和剪應力可以推算出3個主應力Principal
stress,𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑,通常令𝝈𝟏>𝝈𝟐>𝝈𝟑。也可得到𝝈𝒆𝒒𝒗,是等效應力Equivalent/Effective stress,也稱為von Mises
stress麥西斯應力。也就是取得「結構應力」(Structural Stress)。
又知道,對於結構靜力分析的「安全性」(Safety)評估,首先,瞭解「安全係數」(Safety Factor)的定義:
𝑵_𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒄
= 𝑺_𝒂𝒍𝒍𝒐𝒘
/ 𝝈_𝒔𝒕𝒓𝒖𝒄𝒕𝒖𝒓𝒆
靜力安全係數 = 材料容許應力 / 結構應力 = Material Allowable Stress / Structural Stress
其次,甚麼是「材料容許應力」(Material Allowable Stress)呢?結構會是由某種材料所製造的,每種材料有其「容許應力」,定義如下:
𝑺_𝒂𝒍𝒍𝒐𝒘 = 材料容許應力
= 材料強度 /𝑵
如果,令「材料容許應力」(Material Allowable Stress) = 「材料強度」(Material Strength),也就是𝑵=「安全係數」=𝟏。
還需要瞭解甚麼是「材料強度」(Material Strength)?必須考慮兩種材料特性,如果是「延展性材料」特徵,可以定義3種「材料強度」選項:
1. 𝑺𝒚𝒅 = 降伏強度Yielding Strength:在彈性變形區的最大應力值。
2. 𝑺𝒖𝒕 = 極限強度Ultimate Strength:在塑性變形區的最大應力值。
3. 𝑺𝒇𝒓 = 破壞強度Fracture Strength:材料拉伸試驗斷裂時的應力值。
通常,𝑺𝒚𝒅 < 𝑺𝒇𝒓
< 𝑺𝒖𝒕,所以,𝑺𝒚𝒅是最保守的選項。
如果是「脆性材料」,因為其抗拉與抗壓的強度,會有明顯不同,因此需要取得的「材料強度」,包括:
1. 𝑺𝒕 = 抗拉強度Tensile Strength
2. 𝑺𝒄 = 抗壓強度Compressive Strength
所以,對於結構的「安全性」(Safety)評估,需要從兩種材料特性的角度,分別進行評估:
1. 「延展性材料」(Ductile Material):𝑵𝒔𝒕
= 𝑺𝒚𝒅/𝝈𝒆𝒒𝒗
= 降伏強度
/ 等效應力。
2. 「脆性材料」(Brittle Material):𝑵𝒔𝒕=𝑺𝒕/𝝈𝟏 = 抗拉強度
/ 第一主應力,而且,𝑵𝒔𝒕 = 𝑺𝒄
/ 𝝈𝟑
= 抗壓強度
/ 第三主應力。
回顧了甚麼是「結構應力」(Structural Stress)?甚麼是「材料容許應力」(Material Allowable Stress)?甚麼是「材料強度」(Material Strength)?以及甚麼是「延展性材料」(Ductile Material)?甚麼是「脆性材料」(Brittle Material)?以及兩種特性材料的結構「安全性」(Safety)評估方法,本單元著重於瞭解甚麼是「破壞理論」(Failure Theory)?同時,探討如何應用於結構「安全性」(Safety)評估?
「破壞理論」有很多種,針對「延展性材料」與「脆性材料」,常選用的兩種「破壞理論」,分述如下:
1. “von Mises” Failure Theory,「麥西斯」破壞理論、或稱「畸應變能」(Distortion Stain Energy)破壞理論:適用於「延展性材料」(Ductile Material)。如果,𝝈𝒆𝒒𝒗
< 𝑺𝒚𝒅,也就是結構應力的𝝈𝒆𝒒𝒗,小於材料強度,如𝑺𝒚𝒅降伏強度是最保守的選項,則結構不會破壞。
2. “Maximum Principal Stress” Failure
Theory,「最大主應力」破壞理論:適用於「脆性材料」(Brittle Material)。如果,−𝑺𝒄
< {𝝈1,𝝈2,𝝈3 } < 𝑺𝒕,也就是結構的3個主應力,都介於𝑺𝒄 抗壓強度和𝑺𝒕抗拉強度之間,則結構不會破壞。
接下來,定義𝝈𝒆𝒒𝒗,是等效應力Equivalent/Effective stress,也稱為von Mises
stress麥西斯應力。詳細方程式,可參閱圖示,概念上,已知:結構應力,包括:𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛,𝝉𝒙𝒚,𝝉𝒚𝒛, 𝝉𝒙𝒛,就是3個方向的正向應力Normal
stress以及3個方向的剪應力Shear stress,就可以求得等效應力𝝈𝒆𝒒𝒗。另外,也可以由3個主應力Principal stress,𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑,求得等效應力𝝈𝒆𝒒𝒗。
其次,如何求得3個主應力Principal stress,𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑呢?參閱圖示左下方,可以寫出應力矩陣 [σ],是由𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛,𝝉𝒙𝒚,𝝉𝒚𝒛, 𝝉𝒙𝒛所組成,分析求解應力矩陣 [σ]的特徵值(eigenvalue),即可求得3個主應力Principal
stress,𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑,通常令𝝈𝟏>𝝈𝟐>𝝈𝟑。
有了以上「破壞理論」的基礎知識,就可以知道,彙整於圖示右下方的安全性評估,如何分別應用兩個「破壞理論」,進而分別對「延展性材料」結構以及「脆性材料」結構,進行其「安全性」(Safety)的評估方法。
最後,綜合本單元的討論:
1. 介紹了兩個「破壞理論」:(1)「麥西斯」破壞理論,以及(2)「最大主應力」破壞理論。
2. 分別應用於「延展性材料」結構以及「脆性材料」結構的「安全性」(Safety)的評估。
3. 對於「延展性材料」結構:因為採用「麥西斯」破壞理論,所以,「結構應力」要取得𝝈𝒆𝒒𝒗,是等效應力Equivalent/Effective stress,也稱為von Mises
stress麥西斯應力。
4. 對於「脆性材料」結構:因為採用「最大主應力」破壞理論,所以,「結構應力」要取得3個主應力Principal
stress,𝝈𝟏>𝝈𝟐>𝝈𝟑。
以上個人看法,請多指教!
王栢村
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