這個單元要來探討的主題是:對結構進行「實驗模態分析」EMA,要如何做「佈點規劃」(grid point planning)?將以木琴條結構為例,作說明,也是EMA系列的第11篇。
參閱圖示中間上方的木琴條結構,這是一部木琴打擊樂器的其中一個音階的木琴條,可以看出來是長條形立方體的構造,中間下方有曲線形式的凹槽。在先前單元:#113,【如何解讀木琴條之振動模態特性?】,有連續3篇的討論。本單元以木琴條結構為例,說明要進行EMA時,如何做「佈點規劃」?
如果,要對這個木琴條結構,進行「實驗模態分析」EMA,是因為打擊樂器的發聲機制,和木琴條的「振動模態」(vibration modes)有關,所以會對木琴條結構以EMA實驗方法,取得其「振動模態」的3個「模態參數」,包括:(1) 𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequencies),(2) 𝝓𝒓「模態振型」(mode shapes),及(3) ξ𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)。同時,也可以建立「有限元素分析」(finite element analysis, FEA)方法,來設計分析木琴條結構。
參閱圖示右上方的木琴條結構之EMA量測架構示意圖,將木琴條以棉線穿過側面的孔洞,以懸吊方式懸空吊在支架上,模擬自由邊界(free boundary)的狀態。EMA量測,採用了中型的「衝擊鎚」(hammer)當作「驅動器」(actuator),敲擊木琴條,而使用「加速規」(accelerometer)為「感測器」(sensor) 量測結構的響應。圖中可看到,也同步以「麥克風」(microphone),量測敲擊的聲音。不過,在此仍以EMA量測的說明為主。
對一個結構進行EMA,主要有兩個步驟:(1)量測結構的「頻率響應函數」(frequency response function, FRF),(2)對量測到的一系列FRF,進行「曲線嵌合」(curve fitting),以求得結構的「模態參數」。
在先前單元:#262,【要如何對一個結構進行實驗模態分析EMA?】,其中一個重要步驟,就是:對結構進行「佈點規劃」(grid point planning)。
對結構進行「佈點規劃」,首先,複習一下先前單元:#264,【EMA系列:對結構進行EMA,如何做佈點規劃?】,如何進行EMA的「佈點規劃」,主要有4個簡要步驟:
1.
瞭解結構的「振動模態」(vibration modes)特徵。
2.
判斷有興趣的「振動模態」。
3.
決定「量測點位置」、「量測點數量」以及「量測方向」。
4.
選擇固定或移動「衝擊鎚」(hammer),也就是選擇「定槌移規」(Fixed Hammer - Roving Accelerometer)或「移槌定規」(Roving Hammer - Fixed Accelerometer)的量測方式。
第一個步驟,要瞭解這個木琴條結構的「振動模態」特徵,重要的是瞭解結構的「模態振型」(mode shapes)。建議可以採用「有限元素分析」(finite element analysis, FEA),可建構如圖示的木琴條「有限元素模型」,並據以進行「模態分析」(modal analysis),即可求得木琴條的理論「模態參數」(modal parameters),包括:(1) 𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequencies),(2) 𝝓𝒓「模態振型」(mode shapes)。
參閱圖示下方,可以得到木琴條結構的「振動模態」之「自然頻率」的頻率範圍,以及對應的「模態振型」之物理意義,說明如下:
1.
z-方向振動:參閱圖示下方,可以以平板模態特性(𝒙,𝒚),來表示「模態振型」之物理意義,例如:(𝒙,𝒚) = (3,1),在長度x-方向,有兩條「節線」(nodal line),而(𝒙,𝒚) = (2,2),在x-方向及y-方向,則分別有兩條「節線」,依此類推,參閱圖示可看到有(𝒙,𝒚)=(4,1)、(5,1)、(3,2)、(6,1)、(4,2)、(7,1)等模態。
2.
y-方向振動:參閱圖示右下方,可以採類似的方式,解讀y-方向「模態振型」之物理意義,不過其振動方向在y-方向,也有(𝒙,𝒚)=(1,2)、(4,2)、(3,2)等模態。
由於對木琴打擊樂器,主要是敲擊木琴條的z-方向,所以,第二個步驟,要判斷有興趣的「振動模態」,當然就是有興趣於取得Z-方向側向振動的「振動模態」。
第三個步驟,要決定「量測點位置」、「量測點數量」以及「量測方向」。首先,「量測方向」就是Z-方向,所以「量測點位置」會是沿著木琴條表面,其次就是要決定設定多少個「量測點數量」,在此設定了30個量測點,係基於(𝒙,𝒚) = 15x2=30,也就是在x-方向,15個點,而在y-方向,2個點。
為什麼是設定(𝒙,𝒚) = 15x2呢?可以觀察(𝒙,𝒚)= (7,1)的模態,在x-方向,15個點,剛好可以明確地辨識(𝒙,𝒚)= (7,1)的模態。除了可以採用「佈點規劃:4倍原則」的最少點數規劃,重要的經驗法則(rule of thumb):要能夠辨識出「模態振型」的物理意義為原則。
又,為什麼在y-方向,要2個點呢?因為有出現(x,y)= (2,2)、(3,2)、(4,2)等模態,所以,在y-方向,至少要有2個點,才能夠辨識出此等模態的「模態振型」。
第四個步驟,要選擇固定或移動「衝擊鎚」,也就是選擇「定槌移規」或「移槌定規」的量測方式。參閱圖示右側中間的木琴條結構之「佈點規劃」示意圖,在此採用移動「衝擊鎚」:𝒋=#1 ~ #30,固定「加速規」:𝒊=#1,也就是「移槌定規」的量測方式。
特別注意,固定點在#1,是木琴條的角落點,對此自由邊界的木琴條,不會是「節點」(nodal point),所以是好的選擇。同時,採用「移槌定規」的量測方式,不必更動「加速規」位置,可以快速地進行實驗的量測。
根據如上的「佈點規劃」,進行了EMA的「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)量測,總共會取得30個FRF,再以此30個FRF,進行後續的「曲線嵌合」(curve fitting),可以得到每一個「振動模態」的3個「模態參數」,就是「自然頻率」,及其對應的「模態振型」及「模態阻尼比」(modal damping ratio)。
參閱圖示最下方,是由EMA得到的「模態振型」動畫,可以觀察和理論FEA的「模態振型」都有相對應,甚至到最高的(𝒙,𝒚)= (7,1)模態,都有良好的對應。所以,此EMA的實驗量測與後處理分析是成功的。
在此,也補充一下木琴打擊樂器的發聲機制,通常都是敲擊木琴條的中間位置,對於(𝒙,𝒚)= (3,1)、(5,1)、(7,1)模態,剛好是「模態振型」有最大響應的位置,所以是木琴條主要的發聲頻率的模態。
至於其他的(𝒙,𝒚)= (2,2)、(4,1)、(3,2)、(6,1)、(4,2)等模態,其「模態振型」在木琴條的中間位置,剛好是「節點」(nodal point),所以,不會被激發出來。就算是敲擊位置不很精準地偏離了正中間,由於敲擊位置仍接近於「模態振型」的「節點」,所以,其振動或聲音的響應貢獻度,就相對的小了。
最後,再綜合一下這個單元的討論,針對了木琴打擊樂器的其中一個音階的木琴條結構,來說明EMA的「佈點規劃」思考:
1.
瞭解結構的「振動模態」特徵。透過FEA進行理論「模態分析」,可以瞭解結構的理論「模態參數」:𝒇𝒓「自然頻率」和𝝓𝒓「模態振型」,可得知結構的「振動模態」之頻率範圍,以及對應的「模態振型」之物理意義。
2.
判斷有興趣的「振動模態」。在此木琴條,主要是Z-方向側向振動的「振動模態」。
3.
決定「量測點位置」、「量測點數量」以及「量測方向」。此木琴條的佈點規劃,係基於(𝒙,𝒚) = 15x2=30,共有:30個「量測點」,而「量測方向」是Z-方向。
4.
選擇「定槌移規」或「移槌定規」的量測方式。決定選用「移槌定規」,而且固定「加速規」的固定點,選在不會是「節點」的位置。
以上個人看法,請多指教!
王栢村
2022.06.14
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