《振動噪音科普專欄》頌缽的發聲頻率與振動模態有甚麼關係?

頌缽(singing bowl)是一種常見的宗教法器,也有用於身心靈療法,以工程角度來說,「頌缽」就是一種打擊樂器。這個單元就來探討「頌缽」的「發聲頻率」和「振動模態(vibration modes)的關係?

首先,請讀者觀看影片,可以聆聽圖示中「頌缽」的聲音,由上方圖示,可以看到此聲音的「時間波形(time waveform),由其響應特徵可以知道是beating sound,稱之為「重擊音」、「拍擊音」、或「拍振音」,讀者可參閱先前單元:【甚麼是重擊現象(beating phenomenon)】。

在「時間波形」有這種「重擊現象」的聲音,通常是有兩個頻率相近的聲音所合成之組合。接著,就對此「時間波形」進行「頻譜分析(spectral analysis),可以得到如下方圖示的「聲音頻譜(sound spectrum),其頻譜特徵討論如下:

1.      多個「峰值(peaks):如箭頭指出,共有8peak frequencies
2.      第一個「峰值」:實際上有兩個頻率,分別為118.4 Hz120.2 Hz,這兩個頻率就是造成「重擊現象」的主要原因。觀察「時間波形」在2秒到4秒之間,有3個波動,也就是波動頻率是3/(4-2)=1.5 Hz。而118.4 Hz120.2 Hz的差值是1.6 Hz,就是形成此beating sound的主因。
3.      第二個「峰值」:也有兩個頻率,分別為361.7 Hz36.3.4 Hz,其聲音貢獻度與第一個「峰值頻率」相當。
4.      其他高頻率的「峰值」:其「振幅(amplitude)有逐漸遞減的趨勢,也就是對聲音的貢獻度越小。

其次,因為「頌缽」是一種打擊樂器,每個「發聲頻率」會和結構的「振動模態」有關,彙整一下「振動模態」的同義詞如下:

1.      Vibration modes 振動模態。
2.      Natural modes of vibration 振動自然模態。
3.      Modal parameters 模態參數。

其中,「模態參數」包括三個重要參數:

(1)   Natural frequency 自然頻率/固有頻率:「聲音頻譜」中的「峰值頻率」就對應於結構的「自然頻率」。
(2)   Mode shape 模態振型:每個「自然頻率」會有對應的「模態振型」。
(3)   Modal damping ratio模態阻尼比:「時間波形」除了beating現象外,還有明顯的「衰減」現象,這就是「模態阻尼比」的效應。

參閱「聲音頻譜」圖示上方的「模態振型」動畫或圖示,係分別由EMA實驗模態分析」及FEA有限元素分析」,所求得此「頌缽」的「振動模態」,包括:(1)Natural frequency 自然頻率/固有頻率。(2)Mode shape 模態振型。綜合討論如下:

1.      模態振型」的解讀:係以(Z,θ)=(1,2)(1,3)(1,4)(1,9)表示,物理意義是「環模態(ring modes),從最低頻率的「振動模態」是118.4 Hz,最高為3357.8 Hz
2.      分析(FEA)與實驗(EMA)得到的「模態振型:可以看出來兩兩有明確的對應,可以相互比對觀察其「模態振型」的物理意義。
3.      頌缽」的「環模態(ring modes):由於敲擊「頌缽」外環的上緣位置,所以激發的「振動模態」,其「模態振型」都是「環模態」。
4.      軸對稱模態(axis-symmetric modes):由於「頌缽」是個碗形結構,如果是完美的真圓,就是「軸對稱」結構,就會有「軸對稱模態」,其主要特徵是有兩個「振動模態」,其「自然頻率」會相等,而兩個「模態振型」則呈現90度相位差異,並有相同的「模態振型」物理意義。
5.      非真圓結構的「頌缽:使得「軸對稱模態」的兩個「自然頻率」,很相近但是不相等,如前述為118.4 Hz120.2 Hz
6.      聲音響應的高貢獻「振動模態:通常越低頻率的「振動模態」,有較高的聲音響應貢獻度。在此「頌缽」,前兩個「峰值頻率118.4 Hz361.7 Hz有較高的貢獻度。越高頻率的「振動模態」之聲音特徵也可觀察到,但是對聲音的實際貢獻度不大。

綜合一下本單元的討論,此「頌缽」的聲音特徵,以及與「振動模態」的關聯性:

1.      聲音的「主觀評價:有嗡嗡的聽感,就是beating sound,稱之為「重擊音」、「拍擊音」、或「拍振音」。
2.      聲音的「時間波形:可以觀察到有典型的「重擊現象」波形特徵。
3.      聲音頻譜:每一個「峰值頻率」就是對應於結構的「自然頻率」。而每個「自然頻率」會有對應的「模態振型」。
4.      此「頌缽」的「發聲頻率:主要是來自「環模態(ring modes)的「自然頻率」。可分別由分析(FEA)與實驗(EMA)得到的「模態振型」,觀察出(Z,θ)=(1,2)(1,3)(1,4)(1,9)的「振動模態」特徵。
5.      對聲音有高貢獻度的「振動模態:主要是低頻率的「振動模態」,來自前兩個「峰值頻率118.4 Hz361.7 Hz有較高的貢獻度。
6.      頌缽」的「軸對稱模態:由於不是真圓,所以會有兩個「自然頻率」為118.4 Hz120.2 Hz,很相近但是不相等,因而使得有beating sound的「重擊音」效應。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2020.06.02

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