《振動噪音科普專欄》結構的材料參數如何影響結構的「自然頻率」?


先前單元:【甚麼因素會影響結構的「自然頻率」?】,主要是探討了甚麼因素會影響結構的自然頻率?最簡要的說法就是結構系統的「GMBI」,掌握結構系統的「GMBI」就可探索結構的「自然頻率」影響差異。甚麼是「GMBI」?【結構系統之振動模擬分析:問題定義的F-GMBI-R】,簡要如下:

1.      Geometry幾何
2.      Material材料
3.      Boundary邊界
4.      Interface 組合接觸介面

參閱圖示,引用重要的3個「系統方塊圖(system block diagram)

1.          ISO/SPR系統方塊圖
2.          模態域系統方塊圖
3.          FàGMBIàR系統方塊圖

所以,可以知道結構系統的「GMBI」是影響結構「自然頻率」的主要因素。這個單元,將著重在「Material材料」的影響,特別是「材料參數」對結構「自然頻率」的影響。

首先參考圖示的懸臂樑結構,以結構系統的「GMBI」來看此懸臂樑結構:

1.      Geometry幾何:懸臂樑的長度、寬度、厚度,就是幾何參數,令L=380mmW=300mmT=2mm。形狀和尺寸明確,就完成了幾何模型的定義。
2.      Material材料:主要的材料參數,包括:「密度(density)、「楊氏係數(Young’s modulus)、「普松比(Poisson ratio)等,分別假設為:ρ=8000kg/m^3E=207GPaν=0.3。在此假設材料可以以「等向性材料模型(isotropic material model)表示,只需要「楊氏係數」、「普松比」兩個材料參數。
3.      Boundary邊界:由於是懸臂樑,所以如圖示懸臂樑左端的端面,是完全固定的邊界。
4.      Interface 組合接觸介面:此懸臂樑結構,是單一零件,所以沒有組合接觸介面Interface的效應。

對此懸臂樑結構,進行「理論模態分析(theoretical modal analysis, TMA),可以求得結構的「自然頻率fr及對應的「模態振型φr。圖示列出此懸臂樑結構的前10個「振動模態」。

針對結構「材料參數」的變異,對結構「自然頻率」的影響,首先探討不同「密度ρ之影響,令ρ=16,000 kg/m^3,是原始密度ρ=8,000 kg/m^3的兩倍,以及ρ=4,000 kg/m^3,是0.5倍。同樣進行TMA理論模態分析」,如表格顯示,討論如下:

1.      密度ρ增大,「自然頻率」降低:由數值分析可知,「密度」加倍,「自然頻率」則降低,而且有「根號1/2」的倍數關係。
2.      密度ρ減小,「自然頻率」增高:由數值分析可知,「密度」減半,「自然頻率」則增高,而且有「根號2」的倍數關係。

可以推論,針對此懸臂樑結構,「密度ρ和結構的「自然頻率」成「根號反比例」關係。

接著,針對「楊氏係數E=207GPa,分別以2倍及0.5E值,進行TMA理論模態分析」,如表格顯示,討論如下:

1.      楊氏係數E增大,「自然頻率」增高:由數值分析可知,「楊氏係數」加倍,自然頻率增高,而且有「根號2」的倍數關係。
2.      楊氏係數E減小,「自然頻率」降低:由數值分析可知,「楊氏係數」縮小0.5倍,自然頻率降低,而且有「根號1/2」的倍數關係。

可以推論,針對此懸臂樑結構,「楊氏係數E和結構的「自然頻率」,呈現「根號的正比例」關係。

對於一般型結構,可以推論:frsqrt(k/m)sqrt(E/ρ),也就是:

1.      自然頻率fr,和楊氏係數E,根號成正比
2.      自然頻率fr,和密度ρ,根號成反比

以上推論:frsqrt(k/m)sqrt(E/ρ)mk分別是單自由度系統的「質量」和「彈簧常數」,「楊氏係數E類比於「彈簧常數k,而「密度ρ類比於「質量m

最後,針對材料參數的「普松比」進行討論,以鋼鐵材料而言,「普松比」常見為:ν=0.28ν=0.3ν=0.33,分別對此不同「普松比」,進行TMA理論模態分析」,如表格顯示,討論如下:

1.      ν=0.3為參考值,當ν=0.33略為增大時,「自然頻率」大都略為增加,最大增量為0.726%
2.      ν=0.3為參考值,當ν=0.28略為減小時,「自然頻率」大都略為降低,最大減量為–0.435%

由以上數值分析結果,推論:「普松比」在微小的變異範圍,ν=0.28~0.33,對於結構「自然頻率」的影響不大,在 ±1.0%以內。

從結構的「材料參數」對結構的「自然頻率」的影響,口語化概念上的說法:

1.      結構越「」,自然頻率越「」。反之,結構越「」,自然頻率越「」。結構材料的「輕重」明確的物理量,應該是材料「密度」的「小大」。
2.      結構越「」,自然頻率越「」。反之,結構越「」,自然頻率越「」。結構材料的「軟硬」明確的物理量,應該是材料「楊氏係數」的「小大」。
3.      結構材料的「普松比」,對結構自然頻率的影響很小,在 ±1%以內。

這個單元,主要是探討了結構的「材料參數」,如何影響結構的自然頻率?最簡要的說法:結構越「輕、軟」,自然頻率越「」。反之,結構越「重、硬」,自然頻率越「」。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2019.09.10

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