先前兩個單元：【如何解讀木琴條之振動模態特性？】、【木琴條發聲物理機制和振動模態的關係？】，分別探討了「木琴條」的「振動模態」，以及「木琴條」的「發聲物理機制」和「振動模態」的關係。這個單元就來討論如何對「木琴條」進行設計？
首先，「木琴條」的設計需要考慮甚麼因素呢？既然，「木琴條」是典型打擊樂器「木琴」(xylophone)的其中一根「木琴條」(wooden bar)，當然，重要的功能就是每一根「木琴條」，能夠發出正確的「音階頻率」。
這個單元以「虛實整合分析」，也就是現今「工業4.0」提到的CPS (Cyber Physical System)，亦即「虛實整合系統」的應用，分別從以下三個階段說明如何進行「木琴條」的設計：
1.
模型驗證(model verification, MV)
2.
響應預測(response prediction, RP)
3.
設計變更(design modification, DM)
首先，由「模型驗證」MV，說明如下：
1.
「虛」：就是CPS中的Cyber，也就是「電腦相關」的「數位化模型」(digital model)。在本案例，係採用「有限元素分析」(finite
element analysis, FEA)，建立了「虛」的木琴條「分析模型」，分別進行了木琴條結構的「模態分析」，可以得到木琴條的「模態參數」，以及「簡諧響應分析」可以得到木琴條的「頻率響應函數」。
2.
「實」：就是CPS中的Physical，也就是實際的「結構系統」，在此指的就是「木琴條」的實體結構。可以對「實」的「木琴條」進行「實驗模態分析」(experimental modal analysis, EMA)，其實驗架構如圖示，採用「衝擊鎚」對懸吊的「木琴條」在「自由邊界」(free boundary)狀態下，進行敲擊並量測施加的外力，以「加速度規」量測「木琴條」的振動響應，可以量測得到結構的「加速度」與「外力」之間的「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)，進而由「曲線嵌合」(curve fitting)擷取得到木琴條的「模態參數」，就是木琴條的「振動模態」。
3.
「虛實整合系統」的應用：就是結合FEA與EMA的整合應用，包括：「虛」的FEA分析，以及「實」的EMA實驗，透過「虛」的分析和「實」的實驗比對驗證。由「頻率域」FRF曲線圖可觀察：(1)分析和實驗所得到的FRF曲線，大致相符，可知「虛」的分析和「實」的實驗相對應。(2)FRF曲線有明顯的多個「峰值頻率」，就是此木琴條的「自然頻率」。(3)每個「自然頻率」都有其對應的「模態振型」。由「模態域」的「模態參數」可以充分了解解讀「木琴條」的「振動模態」，其中，「模態振型」之物理意義，係以(x,y)=(3,1)、(4,1)、(5,1)、(6,1)、及(7,1)標註，可以看出「模態振型」的「節點」(nodal
point)特性；也有(x,y)=(2,2)、(3,2)、及(4,2)的「模態振型」特徵。
在完成「木琴條」的「模型驗證」MV的重要意義：表示「木琴條」之「虛」的分析「等效」於「實」的實驗量測，也就是「木琴條」的兩個「虛」和「實」CPS (cyber physical system)是「等效的」(equivalent)。更重要的是，這個「虛」的「木琴條」FEA分析模型，可以輔助進行「木琴條」的「響應預測」RP，也可應用到「木琴條」的「設計變更」DM。
第二個階段，對「木琴條」進行「響應預測」RP，這裡有興趣的「響應」(response)是甚麼呢？當然就是敲擊聲音的「聲音壓力」響應！
由先前單元：【木琴條發聲物理機制和振動模態的關係？】已知，參閱「響應預測」RP之圖示，當敲擊「木琴條」在其「中央位置」只會激發出F-01(3,1)、F-05(5,1)、及F-11(7,1)這3個「振動模態」，進而發出這3個「振動模態」的「自然頻率」之聲音。其中，「基音」對應的是F-01(3,1)「振動模態」，而兩個「泛音」對應的是F-05(5,1)及F-11(7,1)「振動模態」。
以「木琴條」的設計為例，第一要務就是「基音頻率」要符合「音階頻率」。其次，「泛音頻率」的組成會影響「木琴條」的「音色」。因此，在「響應預測」RP，要監測F-01(3,1)、F-05(5,1)、及F-11(7,1)這3個「振動模態」之「自然頻率」，並確認和「木琴條」的「發聲頻率」是否相符。「木琴條」的「基音頻率」及「泛音頻率」就是「設計評估指標」，對應的就是F-01(3,1)、F-05(5,1)、及F-11(7,1)這3個「振動模態」之「自然頻率」。
第三個階段，就是「設計變更」DM，如圖示，若是C音階的「木琴條」已經完成設計，已知：「音階頻率」C4=261.61Hz，其「木琴條」長度是364mm。如果，要設計「音階」D4=293.66Hz，【音階標準頻率】，如何進行設計分析呢？概述如下：
1.
「木琴條」結構系統的設計考慮因素：包括(1)幾何：形狀及尺寸，(2)材料：木材的材料參數，(3)邊界狀態：組裝「木琴條」的方式。
2.
「木琴條」的「自然頻率」與結構參數關係：參閱「設計變更」DM圖示，可知「自然頻率」和「厚度」成正比、和「長度平方」成反比、和「材料楊氏係數根號」成正比、和「材料密度根號」成反比。其中，「長度」及「厚度」就是「幾何」的設計參數。「楊氏係數」及「密度」就是「材料」的設計參數。
3.
不同「音階」之「木琴條」長度設計：透過前項的「自然頻率關係式」，就可以概略估算「音階」D4=293.66Hz之「木琴條」長度，約為343.64mm。
4.
「木琴條」的幾何形狀設計：如圖示之「木琴條」有「凹槽」的「幾何設計」，主要是在調整「泛音頻率」之特性。
5.
「木琴條」的材料參數：在第2點的「自然頻率關係式」，雖然以「楊氏係數」代表材料參數，實務上，因為，木材有其年輪和紋路，並不是「等向性材料」(isotropic
material)，所以，需要採用「正向性材料模型」(orthotropic material model)，才能有好的預測分析。有機會再另闢單元討論「材料模型」。
6.
「木琴條」的組裝固定方式：本案例的木琴，其固定「木琴條」方式，是在圖示兩端鑽孔，以線材穿過固定孔，以固定及組裝「木琴條」。此「固定孔位置」除了影響「幾何」外，也會影響「邊界」效應。一般會將「固定孔」選在(3,1)「振動模態」的「節點」上，使得鑽孔後，不會改變(3,1)模態的「自然頻率」，也會使(3,1)模態，在敲擊後，有較大的振動響應，進而有較大的聲音響應。
最後，統整一下，如何進行「木琴條」的設計呢？
1.
對一根「木琴條」進行「模型驗證」MV：透過「虛」的「木琴條」FEA分析，以及「實」的「木琴條」EMA實驗，可以確認「虛」的「分析模型」等效於「實」的「實際結構」，也就是確認「分析模型」的「可靠性」，能夠預測出「木琴條」的(3,1)模態的「自然頻率」，也就發出聲音的「基音頻率」。
2.
對「木琴條」進行「響應預測」RP：在此要觀察確認「木琴條」的「聲音響應」量測與預測的比較，以能夠有效地預測「木琴條」的發聲頻率，也就「發聲物理機制」，以及「基音」和「泛音」的特徵。
3.
採用「虛」的「木琴條分析模型」進行「設計變更」DM：例如不同音階的「木琴條」設計，或是不同「音色」特性的「木琴條」結構之設計分析。在此步驟，需要確認「設計目標」，並能夠訂定對應的量化「設計評估指標」。
4.
測試新的「設計構想」，進行「響應預測」RP：透過「虛」的FEA分析，求得「設計評估指標」，以確認是否達到「設計目標」。
5.
反覆3-DM及4-RP兩步驟的「設計變更」及「響應預測」分析：直到完成預定的「設計目標」。
6.
完成新的「木琴條」設計：以經過驗證之「虛」的分析模型，完成變更設計，據以製作「實」的新設計「木琴條」結構。
7.
新設計之「木琴條」進行「模型驗證」MV：確認新設計「木琴條」的「振動模態」特性，符合「設計評估指標」以及「設計目標」。
8.
對新設計之「木琴條」進行「響應預測」RP之驗證：確認新設計的有效性，是否達成「設計目標」。
這個單元從「虛實整合系統」CPS之應用，探討了「木琴條」之「設計」流程與理念，主要有三個階段：「模型驗證」MV、「響應預測」RP、及「設計變更」DM。此MV-RP-DM三個階段的設計分析流程，是CPS「虛實整合系統」的精神，可以應用到不同產品的設計開發。希望由本單元的探討，讀者能夠進一步了解「產品設計」的「虛實整合系統」CPS之應用。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2019.05.28
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