《振動噪音科普專欄》如何解讀木琴條之振動模態特性？

這個單元來看的主題：「如何解讀木琴條之振動模態特性？」，為什麼我們需要去了解及解讀木琴條的「振動模態」特性呢？其中，「木琴條」是典型打擊樂器「木琴」(xylophone)的其中一根「木琴條」(wooden bar)。那麼，甚麼是木琴條的「振動模態」？又，知道木琴的「振動模態」特性，有甚麼意義呢？

首先，每一個結構都有其結構的「振動模態」(vibration modes)，由【甚麼是結構振動模態？】可知，「振動模態」包括3個重要的「模態參數」(modal parameters)：

1.      自然頻率(natural frequency)

2.      模態振型(mode shape)

3.      模態阻尼比(modal damping ratio)

為什麼需要去了解及解讀「木琴條」的「振動模態」呢？原因如下：

1.          音階的標準頻率：由於木琴是打擊樂器，每一根「木琴條」對應的就是Do、Re、Mi的「音階」，而每個「音階」都有其標準的音階頻率值。讀者可參閱：【音階標準頻率】。

2.          木琴條結構的「發聲物理機制」：又因為「木琴條」的打擊聲音，與「木琴條」的「振動模態」有直接的相關性，所以，需要了解並認識木琴條的「振動模態」。例如先前單元：【鑼臍型式銅鑼之敲擊聲音與振動模態有關嗎？】、【鐵磬打擊樂器之聲音頻譜與結構振動模態及音場模態特性】。

大致了解了解讀「木琴條」的「振動模態」之需求，這個單元就由「虛實整合系統」(Cyber Physical System, CPS)的角度，來看如何採用「虛實整合系統」，應用在「木琴條」的「振動模態」解讀，說明如下：

1.          「虛」：就是CPS中的Cyber，也就是「電腦相關」的「數位化模型」(digital model)。在本案例，係採用「有限元素分析」(finite element analysis, FEA)，建立了「虛」的木琴條「分析模型」，分別進行了木琴條結構的「模態分析」以及「簡諧響應分析」。

2.          「實」：就是CPS中的Physical，也就是實際的「結構系統」，在此指的就是「木琴條」的實體結構。可以對「實」的「木琴條」進行「實驗模態分析」(experimental modal analysis, EMA)，量測得到結構的「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)，進而由「曲線嵌合」(curve fitting)擷取得到木琴條的「模態參數」，就是木琴條的「振動模態」。

3.          「虛實整合系統」的應用：就是結合FEA與EMA的整合應用，包括：「虛」的FEA分析，以及「實」的EMA實驗，透過「虛」的分析和「實」的實驗比對驗證，可充分了解解讀「木琴條」的「振動模態」。

在此「虛實整合系統」CPS的應用過程，可以由兩個角度，進行「虛」的分析和「實」的實驗之比較驗證：

1.          「頻率域」之「頻率響應函數」比較：參閱圖示的「頻率響應函數」FRF是(1,1)，也就是輸入敲擊力的作用位置，以及加速度規量測的位置，都是在木琴條角落的編號1位置，因此，圖示以FRF(1,1)表示。同時，垂直軸的單位是(g/N)，g是加速度的單位，1 (g)=9.807 (m/s^2)；N是外力的單位。由FRF曲線圖可觀察：(1)分析和實驗所得到的FRF曲線，大致相符，可知「虛」的分析和「實」的實驗相對應。(2)FRF曲線有明顯的多個「峰值頻率」，就是此木琴條的「自然頻率」。(3)每個「自然頻率」都有其對應的「模態振型」。

2.          「模態域」之「振動模態」比較：由前述，「振動模態」就是指結構的「自然頻率」、「模態振型」、及「模態阻尼比」。由圖示可觀察：FRF曲線的「峰值頻率」由FEA及EMA的分析及實驗，可發現有良好的對應。

在「模態域」的「模態參數」比較，有幾個比對的方向，討論如下：

1.          FEA和EMA「自然頻率」比較：由圖示表格，也可讀出FEA及EMA的「自然頻率」，在對應的「振動模態」有不錯的對應；FEA和EMA得到的「自然頻率」差異在2%以內。在此須注意，能夠將FEA和EMA的「自然頻率」，放在一起做對應的比較，務必確認：FEA和EMA的「模態振型」物理意義，必須是相同的。

2.          FEA和EMA「模態振型」比較：由圖示觀察FEA和EMA「模態振型」的動畫，可觀察：(1)「木琴條」之「模態振型」，確實是有兩兩對應之相同物理意義。(2) 「模態振型」之物理意義，係以(x,y)=(3,1)、(4,1)、(5,1)、(6,1)、及(7,1)標註，可以看出「模態振型」的「節點」(nodal point)特性；也有(x,y)=(2,2)、(3,2)、及(4,2)的「模態振型」特徵。(3)由MAC (modal assurance criterion)「模態保證指標」比對都相當接近1.0，表示「模態振型」的「物理意義」是相同的。備註：MAC值，相當於是以量化的指標，觀察兩個向量的相似度，如果，MAC=1，代表兩個向量「平行」。MAC=0，代表兩個向量是「正交」(orthogonal)。在本案例，主要的「振動模態」其FEA和EMA「模態振型」之MAC都達0.99以上，表示兩兩對應之「模態振型」的「物理意義」是相同的。

3.          「模態阻尼比」：在此須注意，結構「模態參數」之「模態阻尼比」一般必須由實驗方可取得。本案例的各「模態阻尼比」約0.2~0.5%左右。「模態阻尼比」簡單的說是結構振動的衰減性能，以振動抑制來說，「阻尼比」愈大愈好。

這個單元從「虛實整合系統」CPS之應用，來解讀「木琴條」的「振動模態」特性。由「虛」的FEA分析，「實」的木琴條實體結構EMA，分別由「頻率域」的「頻率響應函數」，以及「模態域」的「模態參數」，包括：「自然頻率」、「模態振型」、及「模態阻尼比」，做「虛實整合」之驗證比較。

在觀察探討「木琴條」的「模態振型」物理意義，以(x,y)方式解讀其「物理意義」，可以觀察出FEA和EMA的分析與實驗比對良好。希望由本單元的探討，讀者能夠進一步了解「木琴條」的「模態振型」物理意義的解讀。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2019.05.27

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