這個單元來看的主題：「甚麼是時頻圖？」，其中，「時頻圖」，也可以說是「時頻譜」，就是可以同時觀察「時間域」和「頻譜域」信號特徵的圖示，此圖示可稱為「time-frequency plot」，正式的英文名詞為「spectrogram」。
本單元就來觀察幾種典型信號的「時頻圖」特徵，在討論之前，先自我提問一下：為什麼需要「時頻圖」？「時頻圖」與一般的「頻譜圖」有甚麼不同？讀者可參閱：【加速度頻譜，有幾種？】。如何取得「時頻圖」呢？又取得「時頻圖」能夠觀察到甚麼現象及觀察的重點呢？了解「時頻圖」有甚麼用途？以及實務的應用呢？
參考圖示，左上角第一個圖示是「單一頻率正弦波」的「時頻圖」，此「時間域波形信號」p(t)，是頻率f=200Hz的簡諧波，持續約1.2秒。對此p(t)信號進行「短時傅立葉轉換」(short time Fourier transform, STFT)，可以求得其「時頻函數」P(t, f)，STFT的運算原理再另闢單元討論。
參閱圖示「單一頻率f=200Hz」的「時頻圖」，由影片可聽到此信號為200Hz的聲音，說明其「時頻圖」特性如下：
1. 時間軸：在水平軸向，此時間軸和「時頻圖」上方的「時間域信號」(time waveform)，是相互對應的時間軸。
2. 頻率軸：是垂直軸向，此頻率軸的最高「有效頻率」(Nyquist frequency)
fnyq，係由量測時間域信號的「取樣頻率」(sampling frequency) fs所決定，fnyq=fs/2。讀者可參閱：【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)？】。
3. 「時頻函數」P(t,f)：若時間t的水平軸為x方向，頻率f的垂直軸為y方向，則P(t,f)「時頻函數」就是z方向的量值，圖示中的「時頻圖」是以「等高線圖」(contour plot)方式呈現，圖示中的紅色區域是量值較大，藍色則是量值較小。在頻率f=200Hz，隨著時間軸，有一條「連續的紅色線條」，表示隨著時間變化，一直都有200Hz的頻率存在。這樣說來，也不意外，因為這就是一個連續的200Hz頻率的信號。
參閱圖示「兩個單頻率f1=200Hz，f2=300Hz」的「時頻圖」，可以觀察垂直軸的頻率，在f=200Hz以及f=300Hz，隨著水平軸向的時間變化，有兩條紅色的線條，表示一直都有此兩個頻率的信號，而且，f=200Hz比f=300Hz的線條更深紅，代表f1=200Hz信號的「振幅」比f2=300Hz信號的「振幅」要大。「簡諧波」的「振幅」定義，可參閱：【餘弦波(cosine wave)之數學意義、幾何意義、物理意義？】。
再參閱圖示「兩個單頻率f1=200Hz，f2=210Hz」的「時間域波形」及「時頻圖」，可以觀察到有「重擊現象」(beating
phenomenon)，也有稱為「拍擊現象」。讀者可參閱：【甚麼是重擊現象(beating phenomenon)？】，有不同的「重擊頻率」(beating frequency)之時間域波形介紹。在此單元，看到的則是「時頻圖」的典型「重擊現象」之特徵。
「重擊現象」的原因：主要是有兩個頻率相近的正弦波之合成效應。時間域響應的重擊週期，會依兩個頻率的差值，所得到的重擊頻率之倒數推算之。由圖示，可以知道典型「重擊現象」之「時間域波形」及「時頻圖」的特徵。
再觀察「低轉速到高轉速的聲音」之「時頻圖」，說明如下：
1. 聲音特性：由影片可聽到此信號的對應聲音，大約是由低頻率慢慢升高到高頻率的聽感。
2. 時間域波形特性：由p(t)時間域波形，實在看不出來有甚麼特別的差異，因為都是隨機信號，勉強可說，隨著時間變化，能觀察到有不同的大小變化吧！
3. 時頻圖特性：已知紅色的線條，代表該頻率的振幅大，由圖示可觀察，紅色線條有幾個特徵：(1)紅色線條呈現「向右上斜」，也就是隨著時間變化，頻率逐漸增大。這是因為由轉動機械如馬達，由低轉速、慢慢增加到高轉速，又知道轉速可以轉換得「轉速頻率」【什麼是轉速頻率(rotating speed frequency)？】，所以有此「向右上斜」的現象。(2)從水平軸的每一個時間，觀察到垂直軸的頻率特徵有「紅色」的點，其實，就是「轉速頻率」的「倍頻」效應。這也是轉動機械，典型的「轉速倍頻」效應。(3)不隨時間變化的高響應之紅色區域，除了隨時間變化的連續「紅色直線」外，可以觀察到有如同前述「單一頻率」的特徵，也就是一直存在的相同頻率之響應，這種特徵，是不隨轉速變化的系統頻率響應。其實，可以推論就是結構系統的「自然頻率」(natural
frequency)，也有稱為「固有頻率」，確實就是一直存在的結構響應之主要頻率特徵。
接著，再觀察「人的聲音」之「時頻圖」，說明如下：
1. 聲音特性：由影片可聽到此信號的對應聲音，是由本人以「哼」的方式，由低頻率慢慢升高到高頻率，在中間有持平約2秒，再快速降低頻率的過程，所錄製起來的聲音。
2. 時間域波形特性：由p(t)時間域波形，一樣也是看不出來有甚麼特別的差異，因為都是隨機信號，勉強可說，隨著時間變化，能觀察到在高頻率聲音時，有相對比較大的量值吧！
3. 時頻圖特性：垂直軸只觀察0~2000Hz的頻率區間。同樣，紅色的線條，代表該頻率的振幅大，由圖示可觀察，最紅的線條在t=0時，約為100Hz，在t=8~10秒之間，持續的最高頻率約200Hz左右，隨後頻率又降下來。所以，「時頻圖」的優點是可以觀察出隨時間變化時，該信號的頻率變動情形。另外，也可觀察出「人的聲音」也呈現出「倍頻音」的效應，就是在「時頻圖」中顯現出「等高線」的特徵。
最後，再觀察「人的聲音Do,Re,Mi,Fa,…」之「時頻圖」，說明如下：
1. 聲音特性：由影片可聽到此信號的對應聲音，是由本人以「Do,Re,Mi,Fa,…」的方式，唱出音階的聲音，在此不評論音階的音準是否正確，謹以此聲音來探討「時頻圖」的特徵。
2. 時間域波形特性：由p(t)時間域波形，一樣也是看不出來有甚麼特別的差異，因為都是隨機信號，勉強可說，隨著時間變化，能觀察到高音的音階時，有相對比較大的量值吧！
3. 時頻圖特性：在此「時頻圖」中，垂直軸一樣只觀察0~2000Hz的頻率區間。同樣，紅色的線段，代表該頻率的振幅大，由圖示可觀察，最紅的線段在t=0時，約為100Hz，每一個音階，呈現一條「紅色線段」，隨著音階的升高，「紅色線段」有逐漸往高頻率偏移。此「紅色線段」與前兩個聲音的「紅色連續線條」之差異，是因為唱Do、Re、Mi的音階時，是一個時間區間、一一的分段唱出，所以呈現片段連續(piecewise continuous)的「紅色線段」。又，每個音階的聲音都有數個「峰值頻率」，也接近呈現「倍頻音」的效應。最低頻率的第一個頻率音，稱為「基音頻率」(fundamental
frequency)，就是可以辨識的Do、Re、Mi的音階頻率，有興趣的讀者可以參閱：【音階標準頻率】。而此「倍頻音」，就是「泛音頻率」(overtone frequencies)，這就是每個人的聲音的「音色」(tone color,
timbre)，同樣唱出Do，能夠分辨出不同人的聲音，其實，就是「泛音頻率」組成所造成每個人「音色」的差異。
為什麼需要「時頻圖」？「時頻圖」與一般的「頻譜圖」有甚麼不同？「時頻圖」能夠觀察到甚麼現象及觀察的重點呢？「時頻圖」有甚麼用途？以及實務的應用呢？綜合說明如下：
1. 「時頻圖」特徵：最主要可以觀察出隨時間變化的頻譜特性，也就是可以得知，信號在不同時間下的頻譜整體分布狀態，因此，很適合觀察如轉速變化之運轉機器的聲音與振動。
2. 「時頻圖」不同於一般的「頻譜」：如「傅立葉頻譜」是一個時間區間的頻譜、或是「自身功率頻譜」可以是一段時間區間的平均頻譜，比較適合「穩態」(steady state)響應狀態的解析，讀者可參閱：【加速度頻譜，有幾種？】。「時頻圖」可以如本單元呈現的「等高線圖」模式，觀察整體的時間與頻率分布狀態，比較適合「暫態」(transient state)之響應解析。
3. 「時頻分析」(spectrogram analysis)：「時頻分析」是對信號解析的一種方法，除了本單元應用在聲音的解析，同樣可以應到振動響應及其他物理量的解析。對於轉動機械，由靜止到額定轉速啟動時的「run-up test」，以及關機時的「coast-down test」，是可以觀察與區別出「轉速頻率」或結構「自然頻率」的效應。
這個單元主要在介紹「時頻圖」是甚麼？由不同的「時間域信號」說明其在「時頻圖」的特性與特徵，包括：單一頻率簡諧波、兩個單頻率簡諧波的合成音、重擊音、低轉速到高轉速連續變化音、人由低音到高音「哼」的聲音、以及唱Do、Re、Mi系列音階的聲音。希望由本單元的探討，讀者能夠進一步了解「時頻圖」的現象解讀。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2019.05.08
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