《振動噪音科普專欄》正弦波的相位角是甚麼？

本單元介紹正弦波的相位角(phase angle)之概念。

一個正弦波的數學方程式可寫為：x(t)=Xsin(2πft+ϕ)，其中，

(1)       X為振幅(amplitude)，單位以x(t)的物理量為準，若x(t)是位移(displacement)，單位：m

(2)       f為頻率(frequency)，單位：Hz

(3)       ϕ是相位角(phase angle)，單位：rad

在正弦波方程式中，相位角單位為rad，若以角度表示，需要換算為rad單位，例如：45°=45/180*π=π/4。一個正弦波完整的週期，相當於360°=2π的相位角。

在圖1的左圖，當x(t)，X=1.5，f=1 (Hz)，ϕ=0°，由時間域的響應圖示，可以看出振幅X=1.5的特徵，以及由週期推算出此信號的頻率f=1 (Hz)。同時，由X(f)頻譜圖示，可以觀察在f=1 (Hz)頻率處，會有X=1.5振幅的大小。

在圖1的右圖，當x(t)，X=1.5，f=1 (Hz)，ϕ=45°，整個時間域的正弦波波形，向右平移了1/8個週期，因為相位角是ϕ=45°。又，雖然，相位角有差異，此正弦波的振幅都是X=1.5，所以，X(f)頻譜圖示，可以觀察在f=1 (Hz)頻率處，都會有X=1.5振幅的大小。

在圖2，有6個不同相位角的正弦波x(t)，以及對應的頻譜X(f)，綜合說明如下：

(1)      相位角ϕ=0°：t=0，x(0)=0，是個標準的正弦波

(2)      相位角ϕ=180°：t=0，x(0)=0，與ϕ=0°，剛好正負相反。

(3)      相位角ϕ=-90°：t=0，x(0)=X=1.5，剛好是餘弦波(cosine wave)。

(4)      (4)~(6)，分別是ϕ=45°、ϕ=90°、ϕ=-45°，的波形，請讀者參閱比較。

在X(f)頻譜圖示，可以觀察在f=1 (Hz)頻率處，都會有X=1.5振幅的大小，這是因為相位角的變化，只是改變波形的波動基準點，然而，正弦波的振幅都相同。

本單元以一個單一頻率的正弦波，解釋說明其相位角的特徵，以及不同相位角的頻譜振幅圖的特性，也完全相同。一般在判斷振動量、或是聲音的大小，關心的是頻譜的振幅值，位移的振幅越大，振動就越大。聲音壓力的振幅越大，聲音就越大聲。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2017.10.11

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