《振動噪音科普專欄》聲音的傅立葉頻譜和功率頻譜有甚麼不同?

這個單元要來探討的主題是:聲音的傅立葉頻譜(Fourier spectrum)功率頻譜(power spectrum)有甚麼不同?

 

為什麼要探討這個主題呢?一般常說頻譜(spectrum),就有傅立葉頻譜」以及「功率頻譜」兩者是有很大的差異。

 

尤其在討論R-test-NResponse-test-Noise響應-實驗-噪音:就是量測結構的聲音壓力響應 𝒑(𝒕)。需要解析各種聲音的頻譜」,這個單元就來探討區別「傅立葉頻譜」以及「功率頻譜」兩者之間的關係與差異。

 

參閱圖示左上方,顯示先前單元:#109對一個信號進行頻譜分析的原理為何?】,聲音量測信號的頻譜分析流程圖,有甚麼Index 指標?簡要回顧說明如下:

 

1.      𝒑(𝒕) = time waveform = 時間波形:量測到的聲音壓力響應 𝒑(𝒕),是原始數據(raw data)

2.      𝑷(𝒇) = Fourier spectrum = 傅立葉頻譜:對 𝒑(𝒕)進行FFT快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)處理,可以得到𝑷(𝒇) 傅立葉頻譜。

3.      𝑮𝒑𝒑(𝒇) = sound spectrum = 聲音頻譜:取得的 𝑷(𝒇),透過PSD (power spectral density, PSD)處理,可以取得聲音的功率頻譜(power spectrum, auto PSD spectrum) 𝑮𝒑𝒑(𝒇),可簡稱聲音頻譜(sound spectrum)

4.      𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) = 1/3 octave band spectrum = 三分之一倍頻頻譜:再由𝑮𝒑𝒑(𝒇),進行三分之一倍頻(one third octave band)處理,可以取得 𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄),主要是配合人耳感官的聽覺效果。

5.      𝑳𝒑,𝒆𝒒 = equivalent sound pressure level = 等效聲音壓力位準/聲壓級:由𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄),可以累加 𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) 每一個 𝒇𝒄 中心頻率(central frequency)的聲音壓力位準dB,進而得到𝑳𝒑,𝒆𝒒。簡單說,就是在量測時間內的噪音量大小之平均值,實際上是均能 (equivalent energy)的概念。

6.      𝑮𝒑𝒑(𝒕,𝒇) = spectrogram = 時頻圖:必須透過時頻分析(time frequency analysis),常用短時傅立葉轉換(short time Fourier transform, STFT)處理,以得到時頻圖。

7.      𝑳𝒑(𝒕) = sound pressure level = 聲音壓力位準/聲壓級:對應時間軸,每一個瞬間的聲音壓力位準/聲壓級。

 

本單元著重在區別:聲音的傅立葉頻譜𝑷(𝒇) 以及「功率頻譜𝑮𝒑𝒑(𝒇),以及實務上,如何取得 𝑷(𝒇)以及 𝑮𝒑𝒑(𝒇)

 

首先,參閱圖示左邊的【量測FFT參數設定】以及完整的64 sec量測到的聲音壓力響應 𝒑(𝒕),是原始數據(raw data)。有關FFT參數設定,重點說明如下:

 

1.      Nyquist Frequency = 20000 Hz:是最高的有效頻率範圍,Fmax = 20000 Hz

2.      Frequency Lines = 12800 lines:是頻譜的解析條數(Line of resolution, LOR)LOR = 12800

3.      Resolution = 1.5625 Hz:是頻譜的頻率解析度,R = Fmax / LOR = 20000 / 12800 = 1.5625 Hz

4.      Average Times = 100:設定的平均次數,AVG = 100

5.      Overlap = 0%:平均處理(averaging)的時間波形數據之重疊率為Overlap = 0%,也就是完全沒有重疊。

6.      Measurement Time = 64 sec:如果,一個FFT的分析時間長度,T = 1/R = 1/1.5625 = 0.64 s。總量測時間:Ttotal = T + T*(1-%) *(AVG-1) = 0.64 + 0.64*(1- 0%) *(100-1) = 64 s

 

接下來,就來看如何進行信號的頻譜分析(spectral analysis),以取得聲音的傅立葉頻譜𝑷(𝒇) 以及「功率頻譜𝑮𝒑𝒑(𝒇)說明如下:

 

1.      聲音傅立葉頻譜𝑷(𝒇):理論上,是透過傅立葉轉換(Fourier transform),由 𝒑(𝒕)取得𝑷(𝒇),數學表示式:𝑷(𝒇)=𝓕[𝒑(𝒕)],其中,𝓕[ ]代表傅立葉轉換運算子,是積分計算。而實務上是透過FFT快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)處理,而得到𝑷(𝒇) 傅立葉頻譜,會是複數,不可平均,是單一個時間區間的頻譜特徵。參閱圖示,當取AVG = 100次平均,會有100𝑷(𝒇),圖示呈現的是𝑷(𝒇) 的振幅值|𝑷(𝒇)|,由於沒有平均,看到的頻譜,不具代表性,通常並不會深入探討,可以視為過程資訊。然而,通常有興趣的平均頻譜是 𝑮𝒑𝒑(𝒇)

2.      聲音功率頻譜𝑮𝒑𝒑(𝒇):比較完整的名詞是自身功率頻譜(auto power spectrum)數學表示式:𝑮𝒑𝒑(𝒇)= 𝑷(𝒇) 𝑷(𝒇)/𝜟𝒇,其中,是取共軛複數(complex conjugate)𝜟𝒇 = R =頻率解析度,所以,𝑮𝒑𝒑(𝒇)是純實數,可以取平均。本案例,如圖示的𝑮𝒑𝒑(𝒇),是AVG = 100次的平均。

 

取得了聲音功率頻譜𝑮𝒑𝒑(𝒇),繪圖呈現的方式,參閱圖示左下方的四個圖示,有兩種方式,說明如下:

 

1.      y軸:物理量 = 聲音壓力 (Pa),可以取LIN (linear) 或是 LOG (logarithmic)座標。而x軸:物理量 = 頻率 (Hz),也是可以取LIN (linear) 或是 LOG (logarithmic)座標。

2.      y軸:物理量 = 聲音壓力位準 (dB),完整的單位標註:dB 𝒓𝒆 𝟐𝟎×𝟏𝟎^(−𝟔) 𝐏𝐚。聲音壓力位準的定義:𝑳𝒑=𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 (𝑷𝒓𝒎𝒔/𝑷𝒓𝒆𝒇),其中,𝑷𝒓𝒆𝒇=𝟐𝟎×𝟏𝟎^(−𝟔) 𝐏𝐚。而x軸:物理量 = 頻率 (Hz),也是可以取LIN (linear) 或是 LOG (logarithmic)座標。x軸,會取LOG座標,主要是配合人耳感官的聽覺效果,人耳對頻率的變動是LOG,而不是LIN。在爾後單元探討 𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) = 1/3 octave band spectrum = 三分之一倍頻頻譜,會再詳細討論。

 

如果,由𝑮𝒑𝒑(𝒇)圖示,比較y軸:物理量 = 聲音壓力 (Pa),以及y軸:物理量 = 聲音壓力位準 (dB),可以觀察到,兩者的曲線趨勢完全相同,因為取dB,已經有取LOG的效果。

 

要注意:實務上在解讀分析聲音頻譜,會是以聲音功率頻譜𝑮𝒑𝒑(𝒇)為主,同時,也會以y軸:物理量 = 聲音壓力位準 (dB),進行診斷分析。

 

綜合一下這個單元的討論:聲音的傅立葉頻譜(Fourier spectrum)功率頻譜(power spectrum)有甚麼不同?總結如下:

 

1.      回顧了先前單元:#109對一個信號進行頻譜分析的原理為何?】:聲音量測信號的頻譜分析流程圖,𝒑(𝒕) à 𝑷(𝒇) à 𝑮𝒑𝒑(𝒇)à 𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) à 𝑳𝒑,𝒆𝒒

2.      本單元著重在區別:𝑷(𝒇)傅立葉頻譜(Fourier spectrum) 𝑮𝒑𝒑(𝒇)功率頻譜(power spectrum),以及對應的數學學理以及數值分析。𝑷(𝒇) 由於沒有平均,看到的頻譜,不具代表性,通常並不會深入探討,可以視為過程資訊。然而,通常有興趣的平均頻譜是 𝑮𝒑𝒑(𝒇),噪音的診斷分析,會是以聲音功率頻譜𝑮𝒑𝒑(𝒇)為主。

3.      針對𝑮𝒑𝒑(𝒇)的繪圖呈現方式:實務上,𝑮𝒑𝒑(𝒇) 會以y軸:物理量 = 聲音壓力位準 (dB),進行分析診斷。x軸:物理量 = 頻率 (Hz),可以取LIN (linear) 或是 LOG (logarithmic)座標,各有其需求與應用目的。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2024.01.09

文章粉絲團連

YouTube影片連結 

訂閱電子報





   

0 意見:

張貼留言