《振動噪音科普專欄》如何避免「共振」(resonance)？– 3K心法

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這個單元要來探討的主題是：如何避免「共振」(resonance)？將會以「3K」的心法來探討「共振」。

 

甚麼是「3K」心法呢？

 

1.          Know What? 瞭解現象。

2.          Know Why? 探討原因。

3.          Know How? 尋求對策。

 

針對「共振」(resonance)的問題，首先，第一個K：就要Know What? 瞭解現象。當發生「共振」，結構會有大的振動響應，對一般的機器設備或結構而言，大的振動當然是不好的，會引發疲勞破壞，導致機器設備故障失效，嚴重的話，結構斷裂損壞，可能造成設備損失、甚至人身傷害。

 

如果判斷大的振動響應，是可能來自「共振」，其次，第二個K：就要Know Why? 探討原因。針對「共振」問題，需要知道兩個名詞：

 

(1)    外力的 𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)。

(2)    系統的 𝒇𝒏「自然頻率」(natural frequency)。

 

當 𝒇𝒆 ≅ 𝒇𝒏 相等或相近時，會使得結構有大的振動。所以，結構有「共振」的現象，通常是不好的，需要去避免「共振」。反之，就沒有「共振」。

 

如果確認了是「共振」，最後，第三個K：就要Know How? 尋求對策。建議：採用「20%」原則，說明如下：

 

1.          𝒇𝒆 < 𝟎.𝟖 𝒇𝒏：「激振頻率」小於「自然頻率」「20%」。

2.          𝒇𝒆 > 𝟏.𝟐 𝒇𝒏：「激振頻率」大於「自然頻率」「20%」。

 

舉例來說，如果知道系統的「自然頻率」𝒇𝒏 = 100 Hz，那麼「激振頻率」必須 𝒇𝒆 < 𝟎.𝟖 𝒇𝒏，也就是 𝒇𝒆 < 80 Hz。或者，「激振頻率」必須 𝒇𝒆 > 𝟏.𝟐 𝒇𝒏，也就是 𝒇𝒆 > 120 Hz。

 

接下來，回顧一下先前單元主題：甚麼是「等效系統」(Equivalent System)？以及為什麼要進行「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)？主要意義與目的，參閱圖片的右上方系列圖示，說明如下：

 

1.      當取得了SDOF單自由度系統的「等效系統」(Equivalent System)：可取得System 系統參數：就是𝒎𝒆𝒒、𝒄𝒆𝒒、𝒌𝒆𝒒，分別是「等效質量」、「等效黏滯阻尼係數」、「等效彈簧常數」。

2.      推導得到系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM)：除了System 系統參數以及Output 輸出參數，位移𝒙(𝒕)/速度𝒙 ̇(𝒕)/加速度𝒙 ̈(𝒕)，還包括：Input 輸入參數：外力 𝒇(𝒕)，和兩個初始條件(IC)，𝒙𝟎和𝒗𝟎。

3.      進而可以進行「模態分析」(modal analysis)：可以得到「模態參數」(modal parameter)：「自然頻率」(natural frequency) 𝒇𝒏 以及「阻尼比」(damping ratio) 𝝃。

4.      評估「共振」(resonance)：即可據以評估結構系統是否有「共振」，也就是在比較探討外力 𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)和系統的𝒇𝒏「自然頻率」。如果，𝒇𝒆 ≅ 𝒇𝒏，就會「共振」，反之，就沒有「共振」。

 

在此來看先前的「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)，探討如何求得「懸臂絞車結構」的「等效彈簧常數」(Equivalent spring constant) 𝒌𝒆𝒒。參閱圖片下方系列圖示，回顧說明如下。

 

第一個步驟，觀察原始系統：「懸臂絞車結構」系統：此結構有一個支撐架，相當於是一個懸臂樑，在樑的自由端有絞車，絞車線下方有一個吊掛物體，其質量為𝒎。絞車會有馬達帶動運轉，其轉速RPM，就是每分鐘轉速(revolution per minute, RPM)。絞車馬達運轉在吊載物體時，物體質塊𝒎，會有上下振動，令其DOF自由度是𝒙(𝒕)。

 

第二個步驟，取得SDOF單自由度系統的「等效系統」(Equivalent System)：可取得System 系統參數：就是𝒎𝒆𝒒、𝒄𝒆𝒒、𝒌𝒆𝒒，分別是「等效質量」、「等效黏滯阻尼係數」、「等效彈簧常數」。

 

在進行「等效系統分析」，分別應用了「懸臂樑」(cantilever beam)以及「懸臂柱」(cantilever column)的「等效彈簧常數」𝒌𝒆𝒒，彙整如下：

 

(1) 「懸臂樑」的「等效彈簧常數」：𝒌𝒆𝒒=𝑭/𝜹 =𝟑𝑬𝑰/𝑳^𝟑= 𝒌𝒃，支撐架的𝒌𝒆𝒒。

(2) 「懸臂柱」的「等效彈簧常數」：𝒌𝒆𝒒=𝑭/𝜹 =𝑨𝑬/𝑳= 𝒌𝒓，絞車線的𝒌𝒆𝒒。

 

所以，可以取得兩個彈簧 𝒌𝒃 和 𝒌𝒓，是串聯彈簧質塊系統示意圖，就是原始系統：「懸臂絞車結構」的第一層次的「等效系統」。

 

第三個步驟，因為 𝒌𝒃 和 𝒌𝒓 兩個彈簧是串聯，由先前單元「串聯彈簧」的「等效彈簧常數」，可知：𝒌𝒆𝒒 =(𝒌𝒃 𝒌𝒓)/( 𝒌𝒃+ 𝒌𝒓 )。所以，就可以取得原始系統：「懸臂絞車結構」的「等效彈簧常數」𝒌𝒆𝒒。

 

第四個步驟，帶入 𝒇𝒏 方程式，如果，已知：𝒎𝒆𝒒、𝒌𝒆𝒒，即可求得系統的 𝒇𝒏「自然頻率」。在此系統，𝒎𝒆𝒒 = 𝒎，所以，可明確求得系統的 𝒇𝒏。

 

第五個步驟，評估如何避免「共振」(resonance)：也就是系統的外力𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)和系統的𝒇𝒏「自然頻率」(natural frequency)，𝒇𝒆 ≅ 𝒇𝒏 相等或相近時，會使得結構有大的振動。所以，結構有「共振」的現象，通常是不好的，需要去避免「共振」。反之，就沒有「共振」。

 

針對原始系統：「懸臂絞車結構」，其系統的外力𝒇𝒆「激振頻率」就是絞車馬達的「轉速頻率」，所以，𝒇𝒆=𝑹𝑷𝑴/𝟔𝟎，單位：Hz。

 

如前述，要避免「共振」，系統的外力 𝒇𝒆「激振頻率」必須遠離系統的 𝒇𝒏「自然頻率」。一般避免「共振」(resonance)的建議，採20%原則，也就是：𝒇𝒆 < 𝟎.𝟖 𝒇𝒏，或 𝒇𝒆 > 𝟏.𝟐 𝒇𝒏。

 

這兩種20%原則的選項，有甚麼差異呢？

 

1.          𝒇𝒆 < 𝟎.𝟖 𝒇𝒏：「激振頻率」一定不會通過「自然頻率」。因為，絞車馬達的「轉速頻率」小於結構的「自然頻率」。

2.          𝒇𝒆 > 𝟏.𝟐 𝒇𝒏：「激振頻率」會通過「自然頻率」。因為，絞車馬達的「轉速頻率」大於結構的「自然頻率」，所以，馬達在轉速逐漸上升時，就會通過「自然頻率」，在「轉速頻率」等於「自然頻率」的瞬間，會激發「共振」的效應，如果，能夠快速通過此「轉速頻率」，短暫的「共振」的效應，是還可以接受，但是，絕對不能在相同於「自然頻率」的轉速下運轉。

 

因此，第一種選項：𝒇𝒆 < 𝟎.𝟖 𝒇𝒏，會是比較好的結構設計。若是採第二種選項：𝒇𝒆 > 𝟏.𝟐 𝒇𝒏，也是可行，但是，要注意：絕對不能在相同於「自然頻率」的「轉速頻率」下運轉。

 

綜合一下這個單元的討論，以「3K」的心法來探討「共振」，就是：(1) Know What? 瞭解現象、(2) Know Why? 探討原因、(3) Know How? 尋求對策。這是個三階段，有邏輯性的思維。

 

另外，也針對「懸臂絞車結構」系統，來說明如何避免「共振」(resonance)？統整的分析流程步驟理念如下：

 

1.      探討原始系統：「懸臂絞車結構」系統。

2.      進行「等效系統分析」：定義「等效系統」的單自由度「等效彈簧質塊系統」。

3.      分析得到「等效彈簧常數」𝒌𝒆𝒒 以及 𝒎𝒆𝒒 「等效質量」。

4.      進而，可以推算系統的 𝒇𝒏「自然頻率」。

5.      評估「共振」(resonance)：建議採用：20%原則，也就是：𝒇𝒆 < 𝟎.𝟖 𝒇𝒏，或 𝒇𝒆 > 𝟏.𝟐 𝒇𝒏。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2023.07.06




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