這個單元要來探討的主題是：如何建構「離散系統」(discrete system)的「數學模型」(mathematical model)？-
以「車輛行駛模型」(Vehicle Riding Model)為例。
首先回顧一下，先前單元：#314，【車輛動力學(Vehicle
Dynamic)：如何定義車體的自由度(DOF)？】，參閱圖示左下方示意圖，是「車輛動力學」對汽車慣用的DOF定義與變數符號，就是：𝒙, 𝒚,
𝒛, 𝝓, 𝜽, 𝝍，分別是3個方向位移/平移「自由度」(displacement DOF)，以及3個方向旋轉「自由度」(rotational DOF)：
𝒙 的 縱向位移(longitudinal displacement)
𝒚 的 側向位移(lateral displacement)
𝒛 的 垂直位移(vertical displacement)
𝝓 的 翻滾角度(roll angle)
𝜽 的 前傾角度(pitch angle)
𝝍 的 旋轉角度(yaw angle)
瞭解車體的DOF定義，假設想要對圖示的汽車「實際結構」(real structure)進行振動分析，那麼需要建構「數學模型」(mathematical model)，稱為「數學建模」(mathematical modeling)。也就是將「實際結構」(real structure)做適當的假設，以能夠得到對應於「實際結構」的等效「數學模型」(mathematical model)。
參閱圖片中間下方，本單元以一個很簡化的【¼車體行駛動態分析模型】為例做說明。初步的假設呢，一部汽車會有4個輪子，此模型假設汽車的左右、前後對稱，所以只取了一個輪子，因此稱為【¼車體模型】(quarter car model)。
有了這個基本構想，接著就針對「離散系統」(discrete system)的「數學建模」，有7個步驟，包括：
1. 定義系統之質塊元件：
2. 定義系統之連接元件：
3. 定義系統之自由度：
4. 定義系統之邊界條件：
5. 定義系統之輸入條件：
6. 定義系統之初始條件：
7. 定義有興趣之系統輸出參數：
第1個步驟：定義系統之質塊元件：就是Mass element。分別定義：𝒎𝟏=輪胎與輪軸質量，𝒎𝟐=底盤質量，𝒎𝟑=駕駛員質量。為什麼呢？參閱圖示變數符號，說明如下：彈簧常數由下而上，分別是：𝒌𝒕、𝒌𝒔、𝒌𝒅。其中，𝒕=tire 輪胎，𝒔=suspension 懸吊系統，𝒅=driver seat駕駛座。所以，輪胎和懸吊系統之間，就是𝒎𝟏=輪胎與輪軸質量。懸吊系統和駕駛座之間，就是𝒎𝟐=底盤質量。駕駛座位上方，當然就是𝒎𝟑=駕駛員質量。
第2個步驟：定義系統之連接元件：就是Connection elements，K & C。如前述，三個集中質量塊之間都有彈簧常數K和黏滯阻尼係數 C。分別是：𝒌𝒕、𝒌𝒔、𝒌𝒅 以及。𝒄𝒕、𝒄𝒔、𝒄𝒅。對應的分別是：𝒕=tire 輪胎，𝒔=suspension 懸吊系統，𝒅=driver seat駕駛座。
第3個步驟：定義系統之自由度：就是Degree-of-Freedom (DOF)。每一個質塊元件，都需要依照和連接元件狀態，定義DOF。在此案例，每個質塊都是垂直方向的DOF，所以分別是：𝒙𝟏(𝒕) 輪軸垂直位移、𝒙𝟐(𝒕)
底盤垂直位移、𝒙𝟑(𝒕) 駕駛座垂直位移。因此，這是一個3DOF三個自由度系統。
第4個步驟：定義系統之邊界條件：就是Boundary。如圖示的汽車行駛在不平整的不規則路面上(irregular road surface)，這個路面的波動狀態，就是此系統的邊界。其實，也會是此系統的輸入。
第5個步驟：定義系統之輸入條件：就是Input或Loading。在此須注意，Input不一定都是外力，也可以是如本案例的Input是位移，是來自不規則路面的起伏位移𝒚(𝒕)，所以是位移輸入(displacement input)。也因此，稱此「數學模型」是3DOF三個自由度「基座激振模型」(base excitation model)。
第6個步驟：定義系統之初始條件：就是Initial Condition (I.C.)。必須要定義所有「自由度」𝒙(𝒕) 的I.C.，包括：初始位移𝒙𝟎和初始速度𝒙 ̇𝟎。
第7個步驟：定義有興趣之系統輸出參數：就是Interested Output Variables。可以探討的議題不少，摘述如下，會再另闢單元討論。
(1)
系統之模態參數(modal parameters)：自然頻率𝒇𝒓，模態振型𝝓𝒓，阻尼比𝝃𝒓。必須進行「模態分析」(modal analysis)。
(2)
系統之頻率響應函數FRF (frequency response function)：在此會有興趣的是，位移傳輸比(displacement transmissibility)=𝑻𝒓=𝑿𝒓 (𝒇)/𝒀(𝒇)，𝒓=𝟏,𝟐,𝟑。必須進行「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)。
(3)
系統的位移/速度/加速度之時間域響應：探討行駛於不同路面狀態的響應 𝒙(𝒕) , 𝒗(𝒕), 𝒂(𝒕)。必須進行「暫態響應分析」(transient response analysis)。
(4)
系統的位移/速度/加速度之頻率域響應：探討行駛於隨機路面狀態的響應 𝑿(𝒇) , 𝑽(𝒇), 𝑨(𝒇)。必須進行「頻譜響應分析」(spectrum response analysis)。
綜合一下這個單元的討論，主要以「車輛行駛模型」(Vehicle Riding Model)為例，由一部汽車的「實際結構」(real structure)，進行「數學建模」(mathematical modeling)，以取得對應於「實際結構」的等效「數學模型」(mathematical model)。重點摘要如下：
1.
回顧「車輛動力學」對汽車慣用的DOF定義與變數符號，就是：𝒙, 𝒚,
𝒛, 𝝓, 𝜽, 𝝍，分別是3個方向位移/平移「自由度」(displacement DOF)，以及3個方向旋轉「自由度」(rotational DOF)。
2.
說明建構「數學模型」的流程步驟：由「實際結構」→ 進行「數學建模」→
得到「數學模型」。主要看的是【¼車體行駛動態分析模型】。
3.
針對【¼車體行駛動態分析模型】的「數學建模」，有7個步驟，做了詳細說明。
4.
【¼車體行駛動態分析模型】實際上是一個3DOF三個自由度系統，而且是「基座激振模型」(base excitation model)。
應用這個【¼車體行駛動態分析模型】，可以解析得到的分析結果，包括：
1.
「模態分析」(modal analysis)：系統模態參數。
2.
「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)：系統頻率響應函數。
3.
「暫態響應分析」(transient response analysis)：系統的時間域響應。
4.
「頻譜響應分析」(spectrum response analysis)：系統的頻率域響應。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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