這個單元是SDOF簡諧激振FRF系列的第1篇，要來探討的主題是：「單自由度系統」的「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)是甚麼？
首先，回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」，參考圖示左上方，是實際結構的示意圖，一個質塊，懸吊在一個彈簧下面，彈簧的另一端是固定邊界，當質塊受到外力作用，質塊會有上下振盪的現象。
為了分析這個質塊-彈簧的「實際結構」(real structure)，建構此系統「數學模型」(mathematical model)，如示意圖。其中，
1.
「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數」(spring constant)。
2.
「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的兩個「初始條件」(initial condition, IC)，包括：「初始位移」(initial displacement) X0及「初始速度」(initial velocity) V0。
3.
「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
由系統的「數學模型」，可以推導出這個「單自由度系統」的「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】
接著，定義系統的「輸入參數」，假設系統受到了「簡諧外力」激振，為正弦函數
𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)，其中，𝝎= 𝟐𝝅𝒇；𝑭 =「簡諧外力振幅」；𝒇=「簡諧外力」的「激振頻率」。由圖示中央的𝒇(𝒕)示意圖，可以從時間波形，分別界定出「簡諧外力振幅」 𝑭，以及「激振頻率」𝒇是「週期」T的倒數。
當這個正弦波的「簡諧外力」作用在此「SDOF單自由度系統」，由先前單元：#208，【SDOF簡諧激振系列(2)：為甚麼簡諧激振，會有簡諧響應？】，參閱右上方的質塊響應𝒙(𝒕)示意圖，可以解剖出兩個效應：𝒙(𝒕)=𝒙_𝐈𝐂
(𝒕)+𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)，其中，
1. 𝒙_𝐈𝐂
(𝒕)：自由振動響應，來自兩個「初始條件」(initial condition, IC)，「初始位移」X0及「初始速度」V0的作用。在時間初期，由於「初始位移」以及「初始速度」，使得質塊會有明顯的漂移運動，一段時間後，因為有阻尼的衰減效應，此自由振動響應會消失。
2. 𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)：外力激振響應，係來自系統外力 𝒇(𝒕) 的作用，其中，IRF係指「脈衝響應函數」(impulse response function, IRF)。在此，當然就是受到的「簡諧外力」激振的效應，會持續的存在。
再參閱右邊中間圖示的質塊響應𝒙(𝒕)，是以0
< 𝝃 < 1，「次阻尼」狀態的模擬結果，說明如下：
1.
𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)：是自由振動響應，呈現「指數衰減」(exponential decay)現象，𝒙_𝐈𝐂
(𝒕)響應方程式，有「指數衰減」項，和𝝃
ωn相關，因為是「次阻尼」，所以，會呈現來回振盪的衰減，長時間後，會衰減趨近於0。因此，也可以區別出來質塊響應𝒙(𝒕)，會有「暫態響應」(transient state response)。
2.
𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)：是外力激振響應，係來自系統外力 𝒇(𝒕) 的作用，可透過「脈衝響應函數」(impulse response function, IRF)解析方法，求解得到𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)。可以觀察到 𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)響應，在初期也會有「暫態」過程，長時間後，會呈現出典型的「簡諧函數」特徵，所以稱為「簡諧響應」。而此「簡諧響應」的頻率，就是「簡諧外力」的「激振頻率」。由於是穩定的「簡諧響應」，所以，可以區別出來質塊響應𝒙(𝒕)，會有「穩態響應」(steady state response)的區間。
接著，再進一步觀察質塊響應 𝒙(𝒕)的「穩態響應」(steady state response)區間，也是「簡諧響應」(harmonic response)，可以寫出位移響應方程式𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)。其中，
1. 𝑿：是「穩態位移響應」的「位移振幅」。
2. 𝒇：是「穩態位移響應」的「響應頻率」，此頻率值就是「簡諧外力」的「激振頻率」。
3. 𝝓：是「穩態位移響應」的「相位角」(phase
angle)，是「位移」𝒙(𝒕)和「外力」𝒇(𝒕)的「相位角」差。
讀者可參閱中央下方的「穩態位移響應」𝒙(𝒕)示意圖，和其上方的「簡諧外力」𝒇(𝒕)的示意圖，可以觀察出兩者之間有「90°相位差」(90° out-of-phase)，因為，這個數值分析案例是「共振激振」(resonant excitation)時，也就是「激振頻率」等於「自然頻率」，𝒇 =𝒇𝒏。
除此之外，最重要想要知道的是「穩態位移響應」𝒙(𝒕)的「位移振幅」𝑿，所以，在此就定義「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)，𝑯(𝒇) = 輸出/輸入 =
𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)，也就是「穩態位移振幅」𝑿(𝒇)
除以「外力振幅」𝑭(𝒇)。因為，不同的「激振頻率」𝒇，會有不同的「穩態位移振幅」𝑿，所以，分別以𝑿(𝒇)和𝑭(𝒇)變數符號表示之。
針對本單元所討論的「單自由度系統」，可以推導出SDOF 之 FRF，𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇) = 𝟏/[(𝒌−𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]，其中，𝝎=𝟐𝝅𝒇 (rad/s)。而且可以知道𝑯(𝒇)是個複數(complex number)。
參閱右下方圖示，是此「單自由度系統」之 FRF，𝑯(𝒇)的振幅圖，令「系統參數」：m = 1 (kg)、c =
1 (N/ m/s)、k = 39.47 (N/m)，所繪製的數值案例。可以求得兩個「模態參數」：「自然頻率」𝒇𝒏 = 1 (Hz)，「阻尼比」𝝃 = 0.0796。因為，0 < 𝝃 < 1，所以是「次阻尼」狀態。
此數值案例，𝑯(𝒇)振幅圖的水平軸是頻率，從0到5 Hz，垂直軸就是𝑯(𝒇)的振幅|𝑯(𝒇)|，可以觀察到：在 𝒇 = 1 Hz時，也就是 𝒇=
𝒇𝒏，|𝑯(𝒇)|有最大的響應，這就「共振」(resonance)的現象。有關「單自由度系統」FRF的特徵與特性，我們再另闢單元討論。
這個單元的重點是在探討：「單自由度系統」的「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)是甚麼？本單元的討論，統整如下：
1. 由「實際結構」(real structure)：考慮一個質塊-彈簧系統。
2. 建構「數學模型」(mathematical model)：透過假設建構出對應「實際結構」的「數學模型」。
3. 推導「運動方程式」(equation of motion, EOM)：推導出這個「單自由度系統」的「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)，是「二階的常微分方程式」。
4. 假設「簡諧外力激振」(harmonic force excitation)：令系統受到了「簡諧外力」激振，為正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)。
5. 分析「質塊位移響應」：𝒙(𝒕)=𝒙_𝐈𝐂
(𝒕)+𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)，可以解剖出兩個效應：𝒙_𝐈𝐂
(𝒕)是自由振動響應，𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)是外力激振響應。也可以區別出來質塊響應𝒙(𝒕)，會有「暫態響應」(transient state response)，以及「穩態響應」(steady state response)的區間。
6. 有興趣的是「穩態位移響應」，也是「簡諧響應」：𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)，特別有興趣的是「位移振幅」𝑿(𝒇)。
7. 所以，定義了「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)：𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)。
8. 舉出「單自由度系統」之 FRF：𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇) = 𝟏/[(𝒌−𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]，由數值分析案例初步解讀𝑯(𝒇)的振幅圖特徵。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2021.05.08
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