《振動噪音科普專欄》SDOF簡諧激振FRF系列(1):單自由度系統的頻率響應函數(FRF)是甚麼?

 

這個單元是SDOF簡諧激振FRF系列的1,要來探討的主題是:「單自由度系統」的「頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)是甚麼?

 

首先,回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」,參考圖示左上方,是實際結構的示意圖,一個質塊,懸吊在一個彈簧下面,彈簧的另一端是固定邊界,當質塊受到外力作用,質塊會有上下振盪的現象。

 

為了分析這個質塊-彈簧的實際結構(real structure),建構此系統數學模型(mathematical model),如示意圖。其中,

 

1.          系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數(spring constant)

2.          輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的兩個「初始條件(initial condition, IC),包括:「初始位移(initial displacement) X0及「初始速度(initial velocity) V0

3.          輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。

 

由系統的數學模型」,可以推導出這個單自由度系統」的「運動方程式ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

 

接著,定義系統的「輸入參數」,假設系統受到了簡諧外力」激振,為正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕),其中,𝝎= 𝟐𝝅𝒇𝑭 =簡諧外力振幅」;𝒇=簡諧外力」的「激振頻率」。由圖示中央的𝒇(𝒕)示意圖,可以從時間波形,分別界定出「簡諧外力振幅 𝑭,以及「激振頻率𝒇週期T的倒數。

 

當這個正弦波的簡諧外力」作用在此SDOF單自由度系統」,由先前單元:#208,【SDOF簡諧激振系列(2):為甚麼簡諧激振,會有簡諧響應?】,參閱右上方的質塊響應𝒙(𝒕)示意圖,可以解剖出兩個效應:𝒙(𝒕)=𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)+𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕),其中,

 

1.      𝒙_𝐈𝐂 (𝒕):自由振動響應,來自兩個「初始條件(initial condition, IC),「初始位移X0及「初始速度V0的作用。在時間初期,由於「初始位移」以及「初始速度」,使得質塊會有明顯的漂移運動,一段時間後,因為有阻尼的衰減效應,此自由振動響應會消失。

2.      𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕):外力激振響應,係來自系統外力 𝒇(𝒕) 的作用,其中,IRF係指「脈衝響應函數(impulse response function, IRF)。在此,當然就是受到的「簡諧外力」激振的效應,會持續的存在。

 

再參閱右邊中間圖示的質塊響應𝒙(𝒕),是以0 < 𝝃 < 1次阻尼狀態的模擬結果,說明如下:

 

1.          𝒙_𝐈𝐂 (𝒕):是自由振動響應,呈現指數衰減(exponential decay)現象,𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)響應方程式,有「指數衰減」項,和𝝃 ωn相關,因為是「次阻尼」,所以,會呈現來回振盪的衰減,長時間後,會衰減趨近於0。因此,也可以區別出來質塊響應𝒙(𝒕),會有暫態響應(transient state response)

2.          𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕):是外力激振響應,係來自系統外力 𝒇(𝒕) 的作用,可透過「脈衝響應函數(impulse response function, IRF)解析方法,求解得到𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)。可以觀察到 𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)響應,在初期也會有「暫態」過程,長時間後,會呈現出典型的「簡諧函數」特徵,所以稱為「簡諧響應」。而此「簡諧響應」的頻率,就是「簡諧外力」的「激振頻率。由於是穩定的簡諧響應」,所以,可以區別出來質塊響應𝒙(𝒕),會有穩態響應(steady state response)的區間。

 

接著,再進一步觀察質塊響應 𝒙(𝒕)穩態響應(steady state response)區間,也是「簡諧響應(harmonic response),可以寫出位移響應方程式𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)。其中,

 

1.      𝑿:是「穩態位移響應」的「位移振幅」。

2.      𝒇:是「穩態位移響應」的「響應頻率」,此頻率值就是「簡諧外力」的「激振頻率」。

3.      𝝓是「穩態位移響應」的「相位角(phase angle),是「位移𝒙(𝒕)和「外力𝒇(𝒕)的「相位角」差。

 

讀者可參閱中央下方的穩態位移響應𝒙(𝒕)示意圖,和其上方的「簡諧外力𝒇(𝒕)的示意圖,可以觀察出兩者之間有「90°相位差(90° out-of-phase),因為,這個數值分析案例是「共振激振(resonant excitation)時,也就是「激振頻率」等於「自然頻率」,𝒇 =𝒇𝒏

 

除此之外,最重要想要知道的是穩態位移響應𝒙(𝒕)的「位移振幅𝑿,所以,在此就定義頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)𝑯(𝒇) = 輸出/輸入 = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇),也就是穩態位移振幅𝑿(𝒇) 除以外力振幅𝑭(𝒇)。因為,不同的激振頻率𝒇,會有不同的穩態位移振幅𝑿,所以,分別以𝑿(𝒇)𝑭(𝒇)變數符號表示之。

 

針對本單元所討論的單自由度系統」,可以推導出SDOF FRF𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇) = 𝟏/[(𝒌𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)],其中,𝝎=𝟐𝝅𝒇 (rad/s)。而且可以知道𝑯(𝒇)是個複數(complex number)

 

參閱右下方圖示,是此「單自由度系統」之 FRF𝑯(𝒇)的振幅圖,令「系統參數」:m = 1 (kg)c = 1 (N/ m/s)k = 39.47 (N/m),所繪製的數值案例。可以求得兩個「模態參數」:自然頻率𝒇𝒏 = 1 (Hz)阻尼比𝝃 = 0.0796。因為,0 < 𝝃 < 1,所以是次阻尼狀態。

 

此數值案例,𝑯(𝒇)振幅圖的水平軸是頻率,從05 Hz,垂直軸就是𝑯(𝒇)的振幅|𝑯(𝒇)|,可以觀察到:在 𝒇 = 1 Hz時,也就是 𝒇= 𝒇𝒏|𝑯(𝒇)|有最大的響應,這就共振(resonance)的現象。有關單自由度系統FRF的特徵與特性,我們再另闢單元討論。

 

這個單元的重點是在探討:「單自由度系統」的「頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)是甚麼?本單元的討論,統整如下:

 

1.      由「實際結構(real structure):考慮一個質塊-彈簧系統。

2.      建構「數學模型(mathematical model):透過假設建構出對應「實際結構」的「數學模型」。

3.      推導「運動方程式(equation of motion, EOM)推導出這個單自由度系統」的「運動方程式ma+cv+kx=f(t),是「二階的常微分方程式」。

4.      假設「簡諧外力激振(harmonic force excitation)令系統受到了簡諧外力」激振,為正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)

5.      分析質塊位移響應」:𝒙(𝒕)=𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)+𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕),可以解剖出兩個效應:𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)是自由振動響應,𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)是外力激振響應。也可以區別出來質塊響應𝒙(𝒕),會有暫態響應(transient state response),以及「穩態響應(steady state response)的區間。

6.      有興趣的是「穩態位移響應」,也是簡諧響應𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓),特別有興趣的是「位移振幅𝑿(𝒇)

7.      所以,定義了「頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)

8.      舉出「單自由度系統」之 FRF𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇) = 𝟏/[(𝒌𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)],由數值分析案例初步解讀𝑯(𝒇)的振幅圖特徵。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2021.05.08

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