這個單元是SDOF簡諧激振系列的第5篇，要來探討的主題是：不同「黏滯阻尼係數」，對振動響應有甚麼影響？
首先，回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」，參考圖示左上方，是此系統「數學模型」(mathematical model)示意圖。其中，
1.
「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數」(spring constant)。
2.
「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的兩個「初始條件」(initial condition, IC)，包括：「初始位移」(initial displacement) X0及「初始速度」(initial velocity) V0。
3.
「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
參考左下方圖示，是「ISO系統方塊圖」(ISO system block diagram)，其中：
1. Input 輸入：f(t)，為系統的外力，以及兩個「初始條件」的「初始位移」X0及「初始速度」V0。
2. System 系統：m、c、k。
3. Output 輸出：x(t)、v(t)、a(t) 分別為系統質塊的位移、速度及加速度響應。
參考左下方的圖示，就是此「單自由度系統」的「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】
若是對此「單自由度系統」，進行「理論模態分析」(theoretical modal analysis, TMA)，可以得到兩個「模態參數」(modal parameters)，在此「單自由度系統」的「模態參數」為：
1.
「自然頻率」(natural frequency)，ωn = 2 π fn=(k/m)^0.5，
2.
「阻尼比」(damping ratio)，ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，是「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)。
所以，由「系統參數」：m、c、k，就可以求得「自然頻率」fn以及「阻尼比」ξ。
以下舉實際的數值案例，進行分析，令「系統參數」：m = 1 (kg)、c =
0~3 (N/ m/s)、k = 39.47 (N/m)，可以求得兩個「模態參數」：「自然頻率」𝒇𝒏 = 1 (Hz)，「阻尼比」𝝃
= 0~0.2387。如果，𝝃
= 0，就是「無阻尼」狀態，若是0 < 𝝃 < 1，就是「次阻尼」狀態。
接著，定義系統的「輸入參數」，假設系統受到了「簡諧外力」激振，為正弦函數
𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)，其中，𝝎= 𝟐𝝅𝒇，令「簡諧外力振幅」𝑭 = 0.2 (N)，「簡諧外力」的「激振頻率」𝒇
= 1.0 (Hz)。也就是𝒇=1.0𝒇𝒏，𝒇 =𝒇𝒏，即「激振頻率」等於「自然頻率」，是「共振激振」(resonant excitation)的狀態。
再定義系統的「輸入參數」，也就是兩個「初始條件」(initial condition, IC)，「初始位移」𝒙𝟎及「初始速度」𝒗𝟎。在此，都假設為0，也就是：𝒙𝟎
= 0 (m)，𝒗𝟎 = 0 (m/s)。
這個單元要探討的主題是：不同「黏滯阻尼係數」c，對振動響應有甚麼影響？數值案例的狀態說明如下：
1. c = 0 (N / m/s)，𝝃 = 0 (無阻尼)
2. c = 0.1 (N / m/s)，𝝃 = 0.00796 (次阻尼)
3. c = 0.5 (N / m/s)，𝝃 = 0.03978 (次阻尼)
4. c = 1 (N / m/s)，𝝃 = 0.07958 (次阻尼)
5. c = 2 (N / m/s)，𝝃 = 0.15915 (次阻尼)
6. c = 3 (N / m/s)，𝝃 = 0.23873 (次阻尼)
首先，觀察c = 0 (N / m/s)，ξ= 0 (無阻尼)時，質塊的位移響應𝒙(𝒕)，可以發現會隨著時間增長，位移響應會逐次放大，甚至到無窮大，這是因為在「共振激振」狀態，又是「無阻尼」，使得系統沒有消耗能量的機制，所以，會無限制的一直增大質塊的位移響應。當然，實務上結構系統，或多或少材料本身都有阻尼效應，還不至於無限制的增大響應，不過，可以知道「共振」(resonance)是一種危險的狀態。
接著，就來觀察不同「次阻尼」狀態的質塊位移響應𝒙(𝒕)，討論如下：
1. 「暫態響應」(transient state response)區間：由先前單元可知，「暫態響應」會受到兩個效應的影響，其一，來自 𝒙_𝐈𝐂
(𝒕) 自由振動響應，其二，來自
𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕) 外力激振響應。在此，令兩個「初始條件」都為零，所以，沒有𝒙_𝐈𝐂
(𝒕) 自由振動響應。會有的「暫態響應」過程，是來自
𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕) 外力激振響應。隨著「阻尼比」越大，也就是「阻尼效應」越大，「暫態響應」區間越小，比較快達到「穩態響應」。反過來說，「阻尼比」越小，也就是「阻尼效應」越小，需要更長的時間發展到「穩態響應」的狀態。
2. 「穩態響應」(steady state response)區間：由於𝒙_𝐈𝐂
(𝒕) 自由振動響應，因為有阻尼效應，會衰減趨近於零而消失。而，𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕) 外力激振響應，除了初期的變動外，則會趨於穩定的響應，在「穩態響應」區間，也會是「簡諧響應」(harmonic response)，可以寫出位移響應方程式𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)。
3. 觀察「穩態簡諧響應」的「位移振幅」𝑿，隨著「阻尼比」越大，也就是「阻尼效應」越大，「位移振幅」𝑿也隨著遞減，所以，可以知道，當結構在「共振」狀態，如果可以增大系統的「阻尼效應」，是可以有效抑制結構的振動。
4. 觀察「穩態簡諧響應」的「簡諧響應頻率」會等於「簡諧外力」的「激振頻率」。
5. 觀察「穩態簡諧響應」的𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)的時間波形，剛好是「90°相位差」，因為，在此案例，令「激振頻率」等於「自然頻率」，𝒇 = 1.0 (Hz)， 𝒇=1.0𝒇𝒏，𝒇 =𝒇𝒏。
統整一下本單元的討論，在此探討「單自由度系統」，在受到相同的「簡諧外力」以及相同的「初始條件」作用下，如果系統參數有不同的「黏滯阻尼係數」，對系統的振動響應，會有甚麼樣影響？
1. 本單元探討了c =
0~3 (N/ m/s)的不同「黏滯阻尼係數」狀態。
2. 由「阻尼比」𝝃
的定義，可推算得到對應不同「黏滯阻尼係數」的「阻尼比」𝝃
=
0~0.2387。
3. 由數值案例，可區別出：「無阻尼」𝝃 = 0和「次阻尼」0 < 𝝃 < 1，兩種狀態。在「無阻尼」𝝃 = 0時，質塊的位移響應𝒙(𝒕)，會無限制的一直增大，可以知道「共振」(resonance)是一種危險的狀態。
4. 而「次阻尼」狀態，又分別以5個不同「阻尼比」𝝃
探討差異影響。觀察重點包括：
(1) 「暫態響應」(transient state response)區間：「阻尼效應」越大，「暫態響應」區間越小。「阻尼效應」越小，需要更長的時間發展到「穩態響應」的狀態。
(2) 「穩態響應」(steady state response)區間：「穩態響應」區間，也會是「簡諧響應」(harmonic response)，可以寫出位移響應方程式𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)。
(3) 「穩態簡諧響應」的「位移振幅」𝑿：「阻尼效應」越大，「位移振幅」𝑿會越小，有抑制振動的效果。
(4) 「穩態簡諧響應」的「簡諧響應頻率」𝒇：會等於「簡諧外力」的「激振頻率」𝒇。
(5) 「穩態簡諧響應」的𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)時間波形之「相位」𝝓關係：當「激振頻率」等於「自然頻率」， 𝒇 =𝒇𝒏，𝒙(𝒕)和𝒇(𝒕)的時間波形，剛好是「90°相位差」。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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