這個單元要來探討的主題是：甚麼是同點的「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)？同點的「頻率響應函數」可以簡稱：Point FRF。
參閱圖示左上方，節錄自先前單元，#364：【如何求得結構的頻率響應函數？】。重點摘錄如下：
1. 「如何求得」：可以概分為「分析」與「實驗」，兩種方法。
2. 「結構」：任意的結構，當然都可以分別由「分析」與「實驗」，求得FRF「頻率響應函數」。
3. 「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)：基本定義：𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭。𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭是輸出，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭是輸入。當然需要明確的定義出𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出以及𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入參數。讀者可參考先前單元，#363：【頻率響應函數有哪些種類(Types of FRFs)？】。
左上方圖示摘錄的是頻率域(frequency domain)系統方塊圖–實驗分析，說明如下：
1. 𝒇𝒋 (𝒕)表示輸入的作用力：可以使用具有力感測器(force transducer)的衝擊槌(impact hammer)，量測得到𝒇𝒋 (𝒕)敲擊外力時間波形。再透過FFT、PSD的信號分析，即可得到如圖示的𝑮𝒋𝒋 (𝒇) 外力自身功率頻譜(auto PSD)。
2. 𝒂𝒊 (𝒕)表示輸出的加速度響應：可以透過加速度規(accelerometer)，黏貼在結構表面，量測到任意點的𝒂𝒊 (𝒕)加速度時間波形。再透過FFT、PSD的信號分析，即可得到如圖示的𝑮𝒊𝒊(𝒇) 加速度自身功率頻譜(auto PSD)。
3. 𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑮𝒋𝒊 (𝒇)/𝑮𝒋𝒋(𝒇)
= FRF「頻率響應函數」：要注意，在實驗量測中，由於經過數位化處理(digitization)，不能如理論分析，直接由傅立葉頻譜取得，必須由PSD功率頻譜，才能取得正確的FRF「頻率響應函數」。其中，𝑮𝒋𝒊 (𝒇)是輸入與輸出的交叉功率頻譜(cross PSD)。其中的𝑯𝒊𝒋 (𝒇) =FRF「頻率響應函數」，最常看到的圖示是𝑯𝒊𝒋 (𝒇)的振幅圖|𝑯𝒊𝒋 (𝒇)|。
在進行EMA「實驗模態分析」(experimental modal analysis, EMA)，參閱如左下方圖示，為一個矩形鋼板結構的量測點規畫，共有15個量測點。採用「定規移槌」(fixed sensor, roving actuator)的實驗方式：加速度規(accelerometer)固定在1號點位置，移動衝擊槌(impact hammer)，依序敲擊在15個量測點，所以會取得15個𝑯𝒊𝒋 (𝒇) =FRF「頻率響應函數」，𝒊=1，𝒋=1~15。
甚麼是Point FRF同點的「頻率響應函數」呢？也就是 𝒋=1 敲擊點位置，和 𝒊=1 量測響應點位置，兩者在相同位置，也就是𝒊= 𝒋=1，所取得的FRF「頻率響應函數」，就是同點Point FRF。
再往下討論之前，再注意一下圖示上的變數符號，為避免混淆，「外力」功率頻譜，以𝑮𝒇𝒋𝒇𝒋(𝒇)表示。而，「加速度」功率頻譜，以𝑮𝒂𝒋𝒂𝒋(𝒇)表示。因為，𝒊= 𝒋。所以，同點Point FRF可以表示為：𝑯𝒋𝒋 (𝒇)=𝑮𝒇𝒋𝒂𝒋 (𝒇)/𝑮𝒇𝒋𝒇𝒋 (𝒇)。
其次，觀察右邊同點Point FRF的3個圖示，依序分別是：
1. 同點Point FRF，「振幅」(amplitude)圖，垂直軸是以對數座標(logarithmic
scale)呈現：也就是取𝑯𝒋𝒋 (𝒇)=𝑮𝒇𝒋𝒂𝒋 (𝒇)/𝑮𝒇𝒋𝒇𝒋 (𝒇)的「振幅」(Magnitude, Mag) |𝑯𝒋𝒋 (𝒇)|。
2. COH「關聯性函數」(coherence)：典型的數值，介於0~1之間，COH
= 𝜸𝒊𝒋^𝟐 (𝒇) =0，代表𝒇𝒋 (𝒕)和𝒂𝒊 (𝒕)兩個信號之間完全不相關。COH
= 𝜸𝒊𝒋^𝟐 (𝒇) =1，則代表兩個信號之間完全相關。COH數值越接近1，代表𝒇𝒋 (𝒕)和𝒂𝒊 (𝒕)兩個信號之間，關聯性越大。
3. 同點Point FRF，「振幅」(amplitude)圖，垂直軸是以線性座標(linear
scale)呈現：同樣是呈現|𝑯𝒋𝒋 (𝒇)|「振幅」圖，但是，在此圖垂直軸採用linear，不同於前述的logarithmic。
4. 同點Point FRF，「奈氏圖」(Nyquist plot)，或稱為「極座標圖」(polar
plot)：垂直軸是以線性座標(linear scale)呈現。水平軸是「實數部」、垂直軸是「虛數部」， FRF的Nyquist plot曲線圖重要特徵：一個「振動模態」(vibration
modes)，會形成一個「圓圈」。
從以上同點Point FRF的這些圖示，可以看到甚麼特徵呢？就重點說明如下：
1. 「共振點」(Resonance point)：在「振幅」(amplitude)圖，不論是logarithmic或linear座標，都可以觀察到FRF曲線的峰值(peak)有4個，每一個peak所對應的頻率，就是結構的𝒇𝒏「自然頻率」，所以，在量測的頻率範圍，有4個「振動模態」(vibration modes)。觀察COH「關聯性函數」，在「共振點」，其COH數值越接近1，代表𝒇𝒋 (𝒕)和𝒂𝒊 (𝒕)兩個信號之間，關聯性越大，主要是因為「共振」(resonance)的效應，使得在𝒇𝒏「自然頻率」下的激振，有較大的振動響應。
2. 「反共振點」(Anti-Resonance point)：在「振幅」(amplitude)圖的logarithmic座標圖示，可以觀察到有尖銳的波谷(sharp valley)，物理意義是非常小的數值，甚至趨近於0。其數值，沒有等於零，是因為FFT分析的頻率解析度(resolution of frequency)關係，無法真正取得「反共振點」的實際頻率。另外，觀察COH「關聯性函數」，在「反共振點」，其COH數值很小，甚至接近於0，代表𝒇𝒋 (𝒕)和𝒂𝒊 (𝒕)兩個信號之間，關聯性非常小。檢視頻率域(frequency domain)系統方塊圖–理論分析的圖示，FRF「頻率響應函數」的定義：𝑯𝒋𝒋(𝒇) =𝑨𝒋(𝒇)/𝑭𝒋 (𝒇)。因為，在「反共振點」的𝑯𝒋𝒋 (𝒇) 量值很小，而𝑭𝒋 (𝒇)接近於平的頻譜，因此，可知是𝑨𝒋 (𝒇)量值很小，所以，𝒇𝒋 (𝒕)和𝒂𝒊 (𝒕)兩個信號之間，關聯性就非常小。結論：在「反共振點」，其COH數值很小，甚至接近於0，代表𝒇𝒋 (𝒕)和𝒂𝒊 (𝒕)兩個信號之間，關聯性非常小，是合理的現象。另外，值得注意的是，在「振幅」(amplitude)圖的linear座標圖示，是觀察不到「反共振點」的現象。
同點Point FRF的重要特徵：在「振幅」(amplitude)圖的logarithmic座標圖示，倆倆的「共振點」(Resonance point)之間，必定會有一個「反共振點」(Anti-Resonance point)。所以，常會應用同點Point FRF的這個特徵，作為檢查實驗所量測到FRF「頻率響應函數」的合理性、可靠性、正確性評估。
另外，觀察同點Point FRF，「奈氏圖」(Nyquist plot)，或稱為「極座標圖」(polar
plot)，其FRF的曲線圖，一個「振動模態」(vibration modes)，會形成一個「圓圈」。針對同點Point FRF，的Nyquist
plot，特別的是：每一個「振動模態」(vibration modes)，所形成的每一個「圓圈」都會在相同的象限。在此，量測的頻率範圍，有4個「振動模態」(vibration modes)，所以，會有4個「圓圈」。要區別哪一個「圓圈」是哪一個「振動模態」，就要觀察垂直軸是以線性座標(linear scale)呈現的「振幅」(amplitude)圖，每個「振動模態」的峰值「振幅」大小，可以區別出對應的「振動模態」。
綜合一下這個單元的討論：甚麼是Point FRF同點的「頻率響應函數」(frequency response
function, FRF)？也就是 𝒋=1 敲擊點位置，和 𝒊=1 量測響應點位置，兩者在相同位置，也就是𝒊= 𝒋=1，所取得的FRF「頻率響應函數」，就是同點Point FRF。
同點Point FRF，有甚麼重要特徵呢？可以分別由4個圖示，總結如下：
1. 同點Point FRF，「振幅」(amplitude)圖，垂直軸是以對數座標(logarithmic
scale)呈現：倆倆的「共振點」(Resonance point)之間，必定會有一個「反共振點」(Anti-Resonance point)。
2. 同點Point FRF，對應的COH「關聯性函數」(coherence)：在「共振點」，其COH數值越接近1，代表𝒇𝒋 (𝒕)和𝒂𝒊 (𝒕)兩個信號之間，關聯性越大，主要是因為「共振」(resonance)的效應。在「反共振點」，其COH數值很小，甚至接近於0，代表𝒇𝒋 (𝒕)和𝒂𝒊 (𝒕)兩個信號之間，關聯性非常小，是合理的現象。
3. 同點Point FRF，「振幅」(amplitude)圖，垂直軸是以線性座標(linear
scale)呈現：是觀察不到「反共振點」的現象。所以，在觀察FRF「頻率響應函數」，一般建議：垂直軸是以對數座標(logarithmic scale)呈現。不過，如果想要觀察各個「振動模態」(vibration modes)的振動響應大小，就可以採用線性座標(linear
scale)呈現。
4. 同點Point FRF，「奈氏圖」(Nyquist plot)，或稱為「極座標圖」(polar
plot)：每一個「振動模態」(vibration modes)，所形成的每一個「圓圈」都會在相同的象限。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.04.05
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