這個單元要來探討的主題是：「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)和「結構阻尼模型」(structural damping model)在SDOF (single degree-of-freedom)單自由度系統，其「頻率響應函數」(frequency response function, FRF )，有甚麼不同？
在先前單元，分別探討過「黏滯阻尼」(viscous damping)以及「結構阻尼」(structural damping)，參閱圖片上方，如果實際結構如圖示，有一個質塊，下方和彈簧連接，固定在地面。當質塊受到外力作用，質塊就會上下運動。
如果，彈簧之外，還有油壓缸的阻尼器(damper)組成，可建構其「黏滯阻尼」數學模型(mathematical model)，系統參數：「質量」𝒎、「黏滯阻尼係數」𝒄、「彈簧常數」𝒌。受到「外力」𝒇(𝒕)作用，質塊會有「位移」𝒙(𝒕)的響應。
如果，只有彈簧的話，當此彈簧受到壓縮、拉伸的運動時，仍然有某種程度的「阻尼」(damping)效應。這個阻尼效應是來自材料本身，材料分子結構因為變形所造成的能量衰減，而形成的「阻尼」(damping)效應。可建構其「結構阻尼」數學模型(mathematical model)，系統參數：「質量」𝒎、「結構阻尼係數」𝒉、「彈簧常數」𝒌。受到「外力」𝒇(𝒕)作用，質塊會有「位移」𝒙(𝒕)的響應。
兩個數學模型，主要的差異：
1. 「黏滯阻尼」(viscous damping)：阻尼效應以
𝒄「黏滯阻尼係數」表示。
2. 「結構阻尼」(structural damping)：阻尼效應以
𝒉「結構阻尼係數」表示。
其次，觀察兩個數學模型，其物理域(physical domain)運動方程式，主要差異在「阻尼力」(damping force)：
1. 「黏滯阻尼」(viscous damping)：「黏滯阻尼力」(viscous damping force)：𝑭𝒅=𝒄𝒙 ̇ (N)。也就是「黏滯阻尼力」，是「黏滯阻尼係數」𝒄
和油壓缸移動的速度 𝒙 ̇，的乘積，都和「黏滯阻尼力」成正比。這也相當符合油壓缸的作動響應。
2. 「結構阻尼」(structural damping)：「結構阻尼力」(structural damping force)：𝑭𝒅=𝒊𝒉𝒙 (N)。也就是「阻尼力」，是「結構阻尼係數」𝒉
和質塊移動的位移 𝒊𝒙 ，的乘積。要注意的是：𝒊 =√(−𝟏)，複數(complex number)，因為，有𝒊 =√(−𝟏)的效應，某種程度也是和速度響應有關連性。
再觀察兩個數學模型，其模態域(modal domain)運動方程式，對物理域(physical domain)運動方程式，全式除以
𝒎，主要差異在代表阻尼的模態參數(modal parameters)：
1. 「黏滯阻尼」(viscous damping)：方程式表示成
𝝎𝒏 和 𝝃 的模態參數。其中，𝝎𝒏：「無阻尼自然頻率」(undamped natural
frequency)，其定義：𝝎𝒏=√(𝒌/𝒎)
(rad/s)。𝝃：「黏滯阻尼比」(viscous damping
ratio)，其定義：𝝃=𝒄/C𝒄。而，C𝒄：「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)，其定義：C𝒄 =𝟐√𝒎𝒌=𝟐𝒎 𝝎𝒏。
2. 「結構阻尼」(structural damping)：方程式表示成
𝝎𝒏 和 𝜼 的模態參數。其中，𝜼：「散失因子」、「損耗因數」(loss factor)，其定義：𝜼=𝒉/𝒌。又，(𝒌+𝒊𝒉)=𝒌(𝟏+𝒊𝜼)：「複數勁度」(complex stiffness)，可以模擬材料的阻尼效應。
如果，求解此SDOF單自由度系統之FRF「頻率響應函數」，其定義：FRF = 𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇) / 𝑭(𝒇)。參閱圖片方程式，除了表示成
𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇) / 𝑭(𝒇)形式，也可以得到無因次的FRF，亦即：𝑯(𝒓)= (
𝑿(𝒇)/𝒌 ) / 𝑭(𝒇)。其中，𝒓為頻率比，定義：𝒓=𝝎/𝝎𝒏。比較兩個數學模型之無因次的FRF，主要差異在分母的虛數部：
1. 「黏滯阻尼」(viscous damping)：𝒊(𝟐𝝃𝒓)。
2. 「結構阻尼」(structural damping)：𝒊(𝜼)。
由於FRF =
𝑯(𝒇) = 𝑯(𝒓)是複數(complex number)，會分別取其|𝑯(𝒓)|振幅值(amplitude)，以及∠𝑯(𝒓)相位角(phase angle)對應頻率軸，或是如圖示的
𝒓=𝝎/𝝎𝒏頻率比，繪圖呈現，此兩個圖示，慣稱為波德圖(Bode plot)。
參閱圖片下方，分別呈現「黏滯阻尼」(viscous damping)以及「結構阻尼」(structural damping)，在不同阻尼效應的FRF曲線圖。可以觀察到類似的特徵，說明如下：
1. 阻尼效應越大，也就是
𝝃 越大、或 𝜼 越大，|𝑯(𝒓)|振幅值，越小。
2. 在
𝒓 ~= 𝟏時，|𝑯(𝒓)|振幅值(amplitude)，會有較大的位移響應。這就是共振(resonance)的現象，也就是簡諧激振頻率接近於自然頻率 𝝎 ~= 𝝎𝒏。
3. 在
𝒓 = 𝟏時，∠𝑯(𝒓)相位角，會是剛好90度。也就是簡諧激振時，「位移」𝒙(𝒕)的響應，和「外力」𝒇(𝒕)之間，有90度的相位差。
4. 在
𝒓 < 𝟏時，當阻尼效應小，∠𝑯(𝒓)相位角，會是接近0度。也就是簡諧激振時，「位移」𝒙(𝒕)的響應，和「外力」𝒇(𝒕)之間，接近同相(in phase)。
5. 在
𝒓 > 𝟏時，當阻尼效應小，∠𝑯(𝒓)相位角，會是接近180度。也就是簡諧激振時，「位移」𝒙(𝒕)的響應，和「外力」𝒇(𝒕)之間，接近反相(out of phase)。
在先前單元，已經探討過，𝝃：「黏滯阻尼比」(viscous damping
ratio)，以及𝜼：「散失因子」、「損耗因數」(loss factor)，兩者之間的關係：𝜼 = 𝟐 𝝃。在此忽略推導的過程，僅說明此關係式，來自簡諧激振(harmonic excitation)分析假設，特別是在激振頻率 = 自然頻率：𝝎 = 𝝎𝒏 的條件下。
由於實務上，𝝃=0.1，10%的「黏滯阻尼比」，已經相當大，大約如一般的橡膠材料「黏滯阻尼比」。而對應的 𝜼 = 𝟐 𝝃=0.𝟐。在此，以「質量」𝒎、「彈簧常數」𝒌
單自由度系統，分別採用(1)「黏滯阻尼係數」𝒄 以及(2)「結構阻尼係數」𝒉
的「結構阻尼」(structural damper)模型，所取得的FRF「頻率響應函數」，以相同的無因次FRF，繪圖比較，如圖片右下方圖示，討論說明如下：
1. 𝝃=0.1，𝜼=0.2，也就是 𝜼 = 𝟐 𝝃：兩個阻尼模型的FRF曲線，幾乎重合，代表系統的響應特性幾乎相同。
2. 𝝃=0.2，𝜼=0.4，也就是 𝜼 = 𝟐 𝝃：兩個阻尼模型的FRF曲線，很相近，在不同激振頻率時，量值，略有差異。
3. 𝝃=0.3，𝜼=0.6，也就是 𝜼 = 𝟐 𝝃：兩個阻尼模型的FRF曲線，有相近，在不同激振頻率時，量值，差異比 𝝃=0.2，𝜼=0.4，稍大。
「黏滯阻尼」(viscous damping)以及「結構阻尼」(structural damping)，在不同阻尼效應的FRF曲線圖。比較大差異的特徵，說明如下：
1. 「黏滯阻尼」(viscous damping)：FRF曲線的峰值，隨著阻尼效應增大，其峰值頻率，會略為小於。但是，在低的 𝝃「黏滯阻尼比」，此峰值頻率的變異很小，幾乎相同。
2. 「結構阻尼」(structural damping)：FRF曲線的峰值，隨著阻尼效應增大，其峰值頻率，維持不變，都是在 𝒓
=
𝟏。
在
𝝃 < 0.1，𝜼 < 0.2，兩種模型在FRF曲線的特徵，是相當的。因此，在實務應用上，取𝜼 = 𝟐 𝝃，可以是合理的假設。
綜合一下這個單元的討論，主要在探討「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)和「結構阻尼模型」(structural damping model)在SDOF單自由度系統，其FRF「頻率響應函數」有甚麼不同？從不同的方式來比較，綜合如下：
1. 物理域(physical domain)運動方程式，主要差異在「阻尼力」(damping force)：「黏滯阻尼力」(viscous damping force)：𝑭𝒅=𝒄𝒙 ̇ (N)。而，「結構阻尼力」(structural damping force)：𝑭𝒅=𝒊𝒉𝒙 (N)。
2. 模態域(modal domain)運動方程式，主要差異在代表阻尼的模態參數(modal parameters)：相同的是：𝝎𝒏：「無阻尼自然頻率」(undamped natural frequency)，其定義：𝝎𝒏=√(𝒌/𝒎)
(rad/s)。不同的是阻尼模態參數，「黏滯阻尼模型」是 𝝃：「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)，其定義：𝝃=𝒄/C𝒄。而，C𝒄：「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)，其定義：C𝒄 =𝟐√𝒎𝒌=𝟐𝒎 𝝎𝒏。而，「結構阻尼模型」是 𝜼：「散失因子」、「損耗因數」(loss factor)，其定義：𝜼=𝒉/𝒌。又，(𝒌+𝒊𝒉)=𝒌(𝟏+𝒊𝜼)：「複數勁度」(complex stiffness)，可以模擬材料的阻尼效應。兩者阻尼模態參數之間的關係：𝜼 = 𝟐 𝝃。
3. SDOF單自由度系統之FRF「頻率響應函數」，其定義：FRF = 𝑯(𝒇)
= 𝑿(𝒇) / 𝑭(𝒇)。主要差異在FRF分母的虛數部。在「黏滯阻尼模型」是𝒊(𝝎𝒄)或𝒊(𝟐𝝃𝒓)。而，「結構阻尼模型」是𝒊(𝒉)或𝒊(𝜼)。
4. 定義了無因次的FRF，亦即：𝑯(𝒓)= (
𝑿(𝒇)/𝒌 ) / 𝑭(𝒇)。由於FRF = 𝑯(𝒇) = 𝑯(𝒓)是複數(complex number)，會分別取其|𝑯(𝒓)|振幅值(amplitude)，以及∠𝑯(𝒓)相位角(phase angle)對應頻率軸，或是如圖示的
𝒓=𝝎/𝝎𝒏頻率比，繪圖呈現，此兩個圖示，慣稱為波德圖(Bode plot)。
5. 比較「黏滯阻尼模型」以及「結構阻尼模型」，無因次的FRF：在 𝝃 < 0.1，𝜼 < 0.2，兩種模型在FRF曲線的特徵，是相當的。因此，在實務應用上，取𝜼 = 𝟐 𝝃，可以是合理的假設。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.09.30
