這個單元要來探討的主題是：看FFT做了甚麼事？- 將時間波形透過FFT取得頻譜。
首先，參閱圖示左下方的FFT流程圖(FFT Flow Chart)，並破題來看關鍵詞(keywords)，包括：
1. 時間波形(time waveform)：通常是實際量測信號的原始數據(raw data)，也就是時間域(time domain)的數據。如果是麥克風(microphone)量測，可得到聲音壓力(sound pressure)。如果是加速度規(accelerometer)量測，可得到加速度(acceleration)。圖示的時間波形看起來是有點規律性的複雜信號。通常會有興趣的是，要了解這樣的信號，其頻率(frequency)的組成，以及對應的振幅(amplitude)大小。
2. FFT：快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)，一種數值分析方法，將一個信號的時間波形(time waveform)，透過FFT處理，取得頻譜(spectrum)。
3. 頻譜(spectrum)：時間波形經過FFT處理，可以得到頻率域(frequency domain)的數據，就是頻譜。如果原始數據是聲音壓力，得到的就是聲音頻譜(sound spectrum)，如果原始數據是加速度，得到的就是加速度頻譜(acceleration spectrum)。由圖示，可以觀察到頻譜，是由3個「頻率」的信號組成，分別是：𝒇𝟏、𝒇𝟐、𝒇𝟑。其「振幅」的大小，分別是：𝑿𝟏、𝑿𝟐、𝑿𝟑。
有了以上將時間波形透過FFT取得頻譜的初步概念，讀者需要觀看影片的動畫，說明了有3個正弦波(sine waves)，以及其合成(summation)，透過時間域(time domain)以及頻率域(frequency domain)的三維視角(3D view)，來觀察瞭解本單元的主題：看FFT做了甚麼事？影片內容的摘要概述如下：
1. 首先，在三維視角，分別形成3個獨立的正弦波，並顯示累加這3個波的合成波形。
2. 其次，在時間域視角，先看到3個波的合成波形，因為是預先設定，所以，可以分別看出3個獨立的正弦波，有不同的循環週期，以及不同的振幅。需注意與認知：實務上，是不知道每個獨立正弦波的特徵，所以，需要FFT處理的數學工具。
3. 再回到三維視角，並轉換到頻率域視角，可以很明確的區別出來有3個頻率的信號，其頻率是𝒇𝟏、𝒇𝟐、𝒇𝟑，對應的振幅是𝑿𝟏、𝑿𝟐、𝑿𝟑。
接下來，就深入來看，參閱圖示中間上方的3個獨立正弦波，其特徵分別說明如下：
1. 第1個正弦波：在時間軸0~10 sec，共有10個波動，可以由波動的週期𝑻𝟏，推算取得頻率𝒇𝟏=𝟏/𝑻𝟏。而此正弦波的振幅，如圖示標示。所以得知：頻率𝒇𝟏=1 Hz，振幅𝑿𝟏=1。而正弦波的數學方程式：𝒙𝟏 (𝒕)=𝑿𝟏 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝟏 𝒕)，其中，兩個重要變數就是頻率𝒇𝟏=1 Hz和振幅𝑿𝟏=1。
2. 第2個正弦波：也可同樣的取得其數學方程式：𝒙𝟐 (𝒕)=𝑿𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝟐 𝒕)，其中，兩個重要變數就是頻率𝒇𝟐=2 Hz和振幅𝑿𝟐=2。
3. 第3個正弦波：也可同樣的取得其數學方程式：𝒙𝟑 (𝒕)=𝑿𝟑 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝟑 𝒕)，其中，兩個重要變數就是頻率𝒇𝟑=3 Hz和振幅𝑿𝟑=3。
對於單一的正弦波，是可透過以上的解析，很明確的取得信號的頻率與振幅。但是實務上，一個信號是由很多的獨立正弦波所組成，又分別有其頻率與振幅。如右上方圖示的合成波形是3個獨立正弦波的累加：𝒙(𝒕)=𝒙𝟏 (𝒕)+𝒙𝟐 (𝒕)+𝒙𝟑 (𝒕)，由其波形已經無法採用上述的方法，區別出各別正弦波的頻率與振幅。
因此，需要使用FFT處理，才能夠看出各別正弦波的頻率與振幅。觀察右邊中間兩個圖示，一個是三維視角，一個是頻率域視角。特別是由頻率域視角的圖示，這是模擬FFT處理後的頻率域(frequency domain)數據，可以明顯地觀察到，這個合成波形的頻率與振幅，是3個獨立正弦波所組成。其頻率分別是𝒇𝟏、𝒇𝟐、𝒇𝟑，對應的振幅是𝑿𝟏、𝑿𝟐、𝑿𝟑。
參閱右邊下方圖示，是三維視角，也可以明確區別出此信號是3個獨立正弦波所組成，分別有其頻率與對應的振幅。
再觀察圖示左下方的FFT流程圖(FFT Flow Chart)，要進行FFT處理，其輸入(input)是時間波形(time waveform)，而輸出(output)是頻譜(spectrum)。在頻譜，可以觀察出信號的頻率組成，以及每個頻率所對應的振幅。這就是FFT處理的基本理念。
實務上，一個信號會是有很多的正弦波(sine waves)所組成的，所以，實務上量測到的信號，會是複雜的，想要得到信號的頻率組成，以及每個頻率所對應的振幅，就需要FFT處理的數學工具。
最後，綜合一下這個單元的討論：
1. 觀察3個獨立的正弦波：第1個正弦波的數學方程式：𝒙𝟏 (𝒕)=𝑿𝟏 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝟏 𝒕)，其中，兩個重要變數就是頻率𝒇𝟏=1 Hz和振幅𝑿𝟏=1。
2. 3個獨立的正弦波累加的合成波：是一個複雜的波形，已經無法採用正弦波數學方程式的方法，區別出各別正弦波的頻率與振幅。
3. 透過三維視角圖示：分別是時間域視角與頻率域視角，可以觀察出信號的時間域波形之波動特徵。
4. FFT處理的理念：是由頻率域視角，解析出一個複雜信號的頻率組成，以及每個頻率所對應的振幅。
5. FFT流程圖(FFT Flow Chart)：其輸入(input)是時間波形(time waveform)，而輸出(output)是頻譜(spectrum)。input時間波形是時間域的響應，而output頻譜是頻率域的響應。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2023.12.12
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