這個單元要來探討的主題是：甚麼是「頻率」(frequency)？有哪些種不同名稱的頻率？
首先，來看一般通用的「頻率」(frequency)相關名詞，參閱圖片左上方表格，說明如下：
1. 「頻率」(frequency)：常用變數符號：𝒇。單位：Hz = cycle/sec。參閱圖片右上方圖示，SDOF單自由度系統之自由振動響應，「頻率」就是質塊(mass)，在每秒鐘，來回震盪的次數。另外，也可以定義 𝑻「週期」(period)，也就是如圖示的波谷到波谷的時間、或是波峰到波峰的時間。由𝑻「週期」，可以求得𝒇「頻率」，𝒇 =
1/𝑻。
2. 「圓週頻率」(circular frequency)：常用變數符號：𝝎=𝟐𝝅𝒇。單位：rad /
sec。𝒇的單位Hz = cycle/sec，每秒一圈。已知：rad = radian，稱為弧度、或弳度。一個完整的圓，其弳度是𝟐𝝅。所以，𝝎和𝒇的轉換，才會是𝝎=𝟐𝝅𝒇。或是，𝒇 = 𝝎/𝟐𝝅。
3. 「轉速」(rotating speed)：常用變數符號：𝒏,
𝑹𝑷𝑴, 𝑪𝑷𝑴。單位：RPM (revolution per minute)、CPM (cycle per minute)，即轉動機械轉軸的每分鐘迴轉數。
4. 「轉速頻率」(rotating speed frequency)：常用變數符號：𝒇𝒔𝒑𝒆𝒆𝒅=𝑹𝑷𝑴/𝟔𝟎。單位：Hz = cycle/sec。𝑹𝑷𝑴「轉速」(rotating speed)和𝒇𝒔𝒑𝒆𝒆𝒅「轉速頻率」(rotating speed frequency)，本質上，都是在說明一部轉動機械的轉動速度，只是表示的單位不同。
其次，來看結構振動(structural vibration)常見的「頻率」(frequency)相關名詞，參閱圖片左邊中間表格，說明如下：
1. 「自然頻率」(Natural frequency)：也有翻譯為「固有頻率」，常用變數符號，在SDOF單自由度系統：𝒇𝒏。在MDOF多自由度系統：𝒇𝒓,𝒓=𝟏,𝟐,…,𝑵。在任意結構的連續系統：𝒇𝒓,𝒓=𝟏,𝟐,…。「自然頻率」(Natural frequency)的特性，稍後補充說明。
2. 「激振頻率」(excitation frequency)：參閱圖片右邊中間圖示，是基座激振(base excitation)之懸臂樑，在基座受到固定頻率的「簡諧激振」(harmonic excitation)，此固定頻率就是𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)。其物理意義：是外部輸入的擾動頻率。如果，𝒇𝒆= 𝒇𝒓，就會造成「共振」(resonance)。
3. 「共振頻率」(resonant frequency)：當外部𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)，和結構的𝒇𝒓「自然頻率」(Natural frequency)，相等、或是相近時，也就是：𝒇𝒆= 𝒇𝒓、或𝒇𝒆~= 𝒇𝒓，就會造成「共振」(resonance)。如圖片右邊中間圖示的動畫，此懸臂樑受到𝒇𝒆= 𝒇𝒓=𝟐
的「簡諧激振」(harmonic excitation)，懸臂樑就顯現了第2個𝝓𝒓=𝟐「模態振型」(Mode shapes)的變形與運動狀態。此時，懸臂樑的振動頻率，會是𝒇𝒓=𝟐，剛好就是 𝒇𝒓=𝟐，這個𝒇𝒓=𝟐，顯示的是懸臂樑的振動頻率、又有「共振」，所以稱之為𝒇𝒓「共振頻率」(resonant
frequency)。在此值得注意的是：紅色𝒇𝒆，是外部「激振頻率」。綠色𝒇𝒓，是結構的「自然頻率」。而，藍色𝒇𝒓，是結構的振動頻率。𝒇𝒆、𝒇𝒓、𝒇𝒓是三種不同概念的頻率，只是，藍色𝒇𝒓，可能會等於綠色𝒇𝒓，如果，結構是處於𝒇𝒆= 𝒇𝒓的「共振」狀態。
參閱圖片右上方圖示，SDOF單自由度系統之自由振動響應，是由一個質塊(mass)，以及彈簧(spring)組成，其質量(mass) = 𝒎，彈簧常數(spring constant)= 𝒌。此SDOF系統的「自然頻率」，只有一個：𝝎𝒏=√(𝒌/𝒎)。因為，𝝎𝒏= 𝟐𝝅𝒇𝒏，所以：𝒇𝒏 = 1/𝟐𝝅√(𝒌/𝒎)。
如果是MDOF多自由度系統，其「自然頻率」，會有𝑵個：𝒇𝒓,𝒓=𝟏,𝟐,…,𝑵。
如果是任意結構的連續系統：𝒇𝒓,𝒓=𝟏,𝟐,…。其「自然頻率」(Natural frequency)會有無窮多個。參閱圖片右邊中間圖示，是基座激振(base excitation)之懸臂樑：共振現象ODS的觀察。其右圖，是懸臂樑的第2個「振動模態」(vibration mode)的𝒇𝒓=𝟐「自然頻率」以及𝝓𝒓=𝟐「模態振型」(Mode shapes)。
到這裡，釐清：(1) 𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)，(2) 𝒇𝒓「自然頻率」(Natural frequencies)，(3) 𝒇𝒓「共振頻率」(resonant
frequency)，三種頻率之間的差異。𝒇𝒆，是外部、輸入的擾動頻率。𝒇𝒓，是一個結構固有的「振動模態」(vibration mode)的「自然頻率」。𝒇𝒓，是結構響應的振動頻率，如果，𝒇𝒆= 𝒇𝒓，則𝒇𝒓 = 𝒇𝒓。稱呼此現象為「共振」(resonance)狀態下，𝒇𝒓就可稱為「共振頻率」(resonant
frequency)。
接下來，觀看影片，可以聽到一個樂器的單音，就是鋼琴Do的聲音，為什麼一聽，就可以聽出來是鋼琴的聲音，為什麼呢？
以下，就來看「樂器聲學」(musical acoustics)常見的「頻率」(frequency)相關名詞，參閱圖片左下方表格，以及右下方圖示，呈現出鋼琴的聲音頻率特徵，來自「時頻分析」(spectrogram analysis; time-frequency analysis)，說明如下：
1. 「音階標準頻率」(Scale Standard Frequency)：先前單元，#48：【音階標準頻率】，已有介紹。每一個音階Do, Re, Me，都有其固定的標準頻率，如圖示的案例，是：C6 = 1046.50 Hz=𝒇𝒑itch。
2. 「基礎頻率」(Fundamental Frequency)、「基音頻率」(Pitch Frequency)：常用變數符號：𝒇𝒉=𝟏，或是𝒇𝒑itch。由「時頻分析」左側的頻譜，放大來看，可知：𝒇𝒉=𝟏
= 1050 Hz，此峰值是第一個、也是有最高峰值，稱之為這個聲音的「基礎頻率」(Fundamental Frequency)，代表著這個聲音的「音高」(pitch)，所以，也稱為「基音頻率」(Pitch Frequency)。
3. 「泛音頻率」(Overtone Frequencies)：在頻譜，也可以看到𝒇𝒉,𝒉=𝟐,𝟑,…的峰值頻率(peak frequencies)，稱之為「泛音頻率」(Overtone Frequencies)。之所以能夠辨識出這是個鋼琴音，就是有特殊的「泛音頻率」組成，就是「音色」(timbre)。
4. 「簡諧倍頻頻率」(Harmonics Frequencies)：以弦樂器(string instrument)來說，很特別的是，其𝒇𝒉,𝒉=𝟐,𝟑,…的「泛音頻率」，會和𝒇𝒉=𝟏的「基礎頻率」，剛好是𝟐,𝟑,…倍數的關係，有這種倍數關係的頻率組成，稱之為「簡諧倍頻頻率」(Harmonics Frequencies)，𝒇𝒉,𝒉=𝟏,𝟐,𝟑,…。
在「樂器聲學」(musical acoustics)，一個樂器的聲音，首先要注意的就是(1)「音高」(pitch)，也就是𝒇𝒉=𝟏「基礎頻率」(Fundamental Frequency)、或稱𝒇𝒑itch=𝒇𝒉=𝟏「基音頻率」(Pitch Frequency)。其次，就是(2)「音色」(timbre)，也就是𝒇𝒉,𝒉=𝟐,𝟑,…的「泛音頻率」(Overtone Frequencies)。
這個單元的主題：甚麼是「頻率」(frequency)？有哪些種不同名稱的頻率？彙整一下這個單元的討論：
1. 一般通用的「頻率」(frequency)相關名詞：(1) 𝒇「頻率」(frequency)，(2)
𝝎=𝟐𝝅𝒇「圓週頻率」(circular frequency)，(3) 𝒏,
𝑹𝑷𝑴, 𝑪𝑷𝑴「轉速」(rotating speed)，(4) 𝒇𝒔𝒑𝒆𝒆𝒅「轉速頻率」(rotating speed frequency)。
2. 結構振動(structural vibration)常見的「頻率」(frequency)相關名詞：(1) 𝒇𝒏「自然頻率」(Natural frequency)，是結構系統的固有特徵頻率。(2) 𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)，是外力的擾動頻率。(3) 𝒇𝒓「共振頻率」(resonant
frequency)，是在「共振」(resonance)下，結構的響應頻率。
3. 「樂器聲學」(musical acoustics)常見的「頻率」(frequency)相關名詞：(1) 𝒇𝒑itch「音階標準頻率」(Scale Standard Frequency)，(2) 𝒇𝒉=𝟏「基礎頻率」(Fundamental Frequency)、或稱 𝒇𝒑itch=𝒇𝒉=𝟏「基音頻率」(Pitch Frequency)，就是「音高」(pitch)。(3)
𝒇𝒉,𝒉=𝟐,𝟑,…的「泛音頻率」(Overtone Frequencies)，就是「音色」(timbre)。(4) 𝒇𝒉,𝒉=𝟏,𝟐,𝟑,…「簡諧倍頻頻率」(Harmonics Frequencies)，與𝒇𝒉=𝟏「基礎頻率」，兩兩的頻率之間有整數倍數關係，是弦樂器所具有的聲音特性。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2025.08.11
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