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《振動噪音科普專欄》傅立葉頻譜與自身功率頻譜有甚麼不同?


對一個信號進行頻譜分析(spectral analysis),實務上,都是採用FFT快速傅立葉轉換,就是將時間域訊號p(t),轉換到頻率域求得其對應的頻譜P(f),並由頻譜圖了解信號的頻率特徵。

當進行了FFT頻譜分析,可以得到頻譜(spectrum),本單元要更深入解釋一下,傅立葉頻譜(Fourier spectrum)以及自身功率頻譜(auto power spectrum)兩者的差異?在實務上,如何應用取得正確、有效的頻譜?

頻譜,簡單說是頻率域的函數,傅立葉頻譜P(f)自身功率頻譜Gpp(f),都是頻譜的一種,其他如頻率響應函數(frequency response function, FRF),也是一種頻譜,當然物理意義是不同的。可參考先前的單元:【如何量測得到結構的頻率響應函數?】、【常說的【振動頻譜】或【聲音頻譜】指的是甚麼?

當要對一個信號進行頻譜分析,本單元是取一個聲音信號做說明,請讀者參閱圖示之信號處理流程圖,主要步驟概述如下:

1.      取得聲音的時間域信號p(t):不管是採用精密的麥克風、或是以PC一般的麥克風錄製聲音,首先要適當選用取樣頻率(sampling frequency),本案例取樣頻率fs=44100Hz。【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)
2.      選用適當的視窗加權函數w(t):需要觀察所欲分析的信號特徵,以決定選用適當的視窗(window)、或稱加權函數(weighting function)。參閱圖示,顯示常用的window,例如:ExponentialRectangularHanningFlat top等,有關視窗加權函數,再另闢單元討論。衰減信號使用不同視窗加權對FFT之影響,請參考先前單元:【Window effect on decay signal for FFT】、【Window effect on decay signal for FFT (2)
3.      取得加權後的時間域信號pw(t):對一個原始的量測信號p(t),在進行FFT之前,會將p(t)w(t)做對應時間的加權相乘,取得加權處理後的時間序列pw(t) =p(t)w(t),再進行FFT。注意:pw(t) =p(t)w(t)此相乘方式,是對應時間點的相乘
4.      pw(t)執行FFT運算:應用快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)的數學運算,將時間域的信號,轉換到頻率域,得到此信號的傅立葉頻譜(Fourier spectrum)。【甚麼是頻譜分析?
5.      觀察傅立葉頻譜(Fourier spectrum):傅立葉頻譜P(f)是複數(complex number),通常有興趣的振幅值(magnitude, amplitude),數學符號表示為|P(f)|。本案例的FFT相關參數,包括:每個區間的時間(time frame)T=6 sec,終止時間t2=7,有效解析頻率fnyq=22050Hz,頻率解析度df=1Hz。注意:傅立葉頻譜只能針對某一個時間區間,進行FFT運算求得。圖示中的傅立葉頻譜|P(f)|6~7秒之間的頻譜圖。
6.      對傅立葉頻譜P(f)再運算:由傅立葉頻譜P(f)是,取其共軛複數(complex conjugate) P*(f),可以推算得到自身功率頻譜Gpp(f)=P*(f)P(f)注意:在此,僅是簡要的表達運算理念,詳細的自身功率頻譜定義,再另闢單元討論。
7.      觀察自身功率頻譜Gpp(f):自身功率頻譜是純實數;英文auto power spectrumauto power spectral density functionauto PSDauto spectrum,都是常用的名詞。自身功率頻譜可以取平均,本案例,FFT參數設定:開始時間為6,每個FFT時間區間time frame1,取10次平均,重疊率為90%,所以,終止時間為7.9

了解了信號處理流程,針對該聲音信號的第四個區間,進行頻譜分析,可以分別得到傅立葉頻譜P(f)以及自身功率頻譜Gpp(f),參閱圖示,採用4種視窗加權函數的結果討論如下:

1.      Boxcar Window:在傅立葉頻譜|P(f)|圖中,有明顯的柵欄效應(fence effect),因為只對6~7秒,進行一次FFT運算。在自身功率頻譜Gpp(f),看起來還正常,比起傅立葉頻譜|P(f)|,沒有發現有柵欄效應(fence effect),這是因為:(1)本案例FFT分析,設定了10次平均,取得自身功率頻譜Gpp(f)(2)進行FFTtime frame時間區間,p(t)在終止時間,已經降到接近0,所以,信號沒有被截斷 (truncation)的現象,頻譜圖是蠻正常的。
2.      Hanning Window:在傅立葉頻譜|P(f)|以及自身功率頻譜Gpp(f),整體頻譜圖可發現Gpp(f)還是比|P(f)|稍微平順,雖然仍有許多的小峰值。然而,這樣的頻譜圖,會讓人不容易判斷真正的信號頻率特徵。先前單元,【Window effect on decay signal for FFT (2)】已經解析此小峰值頻率係來自50Hz倍頻的電雜訊效應。
3.      Exponential 0.1:在傅立葉頻譜|P(f)|圖中,在高頻率800Hz以上,仍有柵欄效應現象。自身功率頻譜Gpp(f)的頻譜圖則可解析的判讀性好了許多,不過,仍然有微小峰值現象。
4.      Exponential 0.01:在傅立葉頻譜|P(f)|圖中,在高頻率800Hz以上,仍有柵欄效應現象。與Exponential 0.1結果相似。可以觀察自身功率頻譜Gpp(f)的頻譜圖是最清楚,可以明確判別頻譜的峰值頻率特徵。因此,可以說對此衰減型信號,以Exponential 0.01的視窗加權函數處理後,進行FFT,所得到頻譜是最好的,因為可以明確判讀主要的峰值頻率,也就是此衰減型信號的頻率特徵。

本單元以一個衰減型信號,說明不同視窗加權函數處理後的FFT頻譜分析的差異,分別觀察傅立葉頻譜P(f)以及自身功率頻譜Gpp(f),希望讀者可以體會兩種頻譜P(f)以及Gpp(f)的差異。同時,也須了解選擇適當的視窗加權函數之重要性,方可取得較好的頻譜圖,才能夠有意義的解讀頻譜之頻率特徵。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2018.08.07