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《振動噪音科普專欄》「外力激振」的「多自由度系統」之振動分析

這個單元的主題:「外力激振」的「多自由度系統」之振動分析,解剖下來有兩個問題,甚麼是外力激振多自由度系統以及「甚麼是振動分析

在先前單元,編號:151的主題,【「外力激振」的「單自由度系統」之振動分析】,談的是單自由度系統(single degree of freedom (SDOF) system),本單元則是「多自由度系統(multiple degree of freedom (MDOF) system)

首先,參閱圖示的實體結構(real structure)示意圖,是由一系列的「質塊」和「彈簧」堆疊起來的多自由度系統(MDOF system),每一個質塊」有外力作用,也有垂直方向的運動。

接下來,回顧一下「振動分析可以藉由4W的思考想一下「振動分析」:

1.      What is?甚麼是「振動分析」?
2.      Why to do?為什麼要進行「振動分析」?
3.      What to get/know?:進行「振動分析」可以得到/知道甚麼
4.      How to do?如何進行「振動分析」?

一個結構的「振動」「分析」,可以分為四種類型,從WHY to do?WHAT to get/know?分別說明如下:

1.      模態分析(modal analysis)WHY:瞭解結構的「振動模態(vibration mode)WHAT to get?:求得結構的「模態參數(modal parameters)
2.      簡諧響應分析(harmonic response analysis)WHY:瞭解結構系統的「頻譜響應」特性。WHAT to get? 求得結構的「頻率響應函數(frequency response function, FRF)
3.      暫態響應分析(transient response analysis)WHY:瞭解結構系統受到「外部激振」的系統「時間域響應」。WHAT to get?:求得結構系統如位移的「時間域響應」
4.      頻譜響應分析(spectrum response analysis)WHY:瞭解結構系統受到「隨機(random)的「外部激振」之系統「響應」。WHAT to get?:求得結構系統如位移的「頻率域響應」

本單元就來探討「多自由度系統(MDOF system)的四種類型之振動分析」,有了圖示的實體結構(real structure),對此結構進行「數學模型化(mathematical modeling),可以得到如圖示對應的「數學模型(mathematical model)。說明如下:

1.      系統參數(system parameters):對應實體結構,可將每一個質塊」以點質量模擬,而每一個彈簧,假設有「彈簧常數」及「黏滯阻尼係數」的特性,可以得到系統的「物理域參數(physical parameters)miciki,分別是第 i 個質塊的「質量」、第 i 個彈簧的「黏滯阻尼係數」、及其「彈簧常數」。
2.      系統輸出參數(system output parameters):可以定義每一個質塊」的「自由度(degree of freedom, DOF),只有在垂直方向運動,以變數符號xi(t)表示第 i 個質塊的位移,也可以說是第 i 個自由度的位移,i=1,2,…,n,是n個自由度的系統。
3.      系統輸入參數(system input parameters):一個振動系統的輸入,可以概分為:「外部激振」以及「初始條件」。在此系統的「外部激振」,以fj(t)表示,為作用在第j個自由度的外力。而「初始條件」分別為每一個「質塊」的「初始位移」及「初始速度」,分別以xi(0)vi(0)表示。

有了數學模型(mathematical model),要以理論解析方式探討,就要先推導「系統的運動方程式(system equations of motion),參閱圖示完整的「數學方程式」,特性說明如下:

1.      系統運動方程式」是n個聯立的「二階常微分方程式」,每一個方程式來自每一個「質塊」的平衡方程式。
2.      系統運動方程式」可以寫成如圖顯示的「矩陣」形式,其中,[M][C][K]分別是系統的質量、阻尼、剛性矩陣,{x}{v}{a}分別為系統的位移、速度、加速度輸出向量。等號右邊 {f} 是外力向量。因為是 n 個「自由度」系統,矩陣是 nxn 的大小,向量是 nx1
3.      系統運動方程式」也需要定義「初始條件」,分別為 {X0}{V0} 是初始位移及初始速度向量。

在此,不在討論如何解析此數學方程式,而是以概念性的說明,在多自由度系統(MDOF system)四種分析,可以得到哪些分析結果,討論如下:

1.      模態分析(modal analysis):主要在求得結構的「模態參數(modal parameters)。在此多自由度系統的「模態參數」為:「自然頻率」,ωr,「模態振型向量」,{φr},「模態阻尼比」,ξr。其中,r=1,2,…,n,共有個「振動模態(vibration modes)。又,「模態振型向量{φr}與系統矩陣[M][C][K],有正交性關係(orthonormal),如圖顯示的三個方程式。重要的是可以得到以「模態參數」表示的「模態方程式(modal equations),以及對應此「模態方程式」的 n 個獨立的單自由度系統」,此模態域」方程式與前述的「物理域」之「系統運動方程式」,是等效的(equivalent)。而且,n 個獨立的單自由度系統」,與實體結構(real structure)也是等效的。
2.      簡諧響應分析(harmonic response analysis):主要在求得結構的「頻率響應函數(frequency response function, FRF),圖示以[H(ω)]代表,是「頻率響應函數矩陣」,其中,第 i 列、第 j行的「頻率響應函數」,可以寫為Hij(ω)物理意義是:結構在第 j 個自由度,受到「簡諧激振(harmonic excitation),其「外力振幅Fj,而系統的「穩態響應」也是「簡諧響應」,第 i 個自由度其「位移振幅Xi,所以Hij(ω)是輸出的「位移振幅Xi除以輸入的「外力振幅FjHij(ω)=Xi/Fj,完整的表示式參閱圖示,可以觀察得知,Hij(ω) 和「模態參數」:ωr{φr}ξr,及「激振頻率」:ω=2πf相關。典型的多自由度系統」之頻率響應函數Hij(ω) 的振幅圖,如圖示,係由每一個自由度的「模態響應」組合而成。
3.      暫態響應分析(transient response analysis):主要在求得結構系統如位移的「時間域響應」。當已知系統的外力 {f(t)},以及各個質塊本身的「初始位移向量 {X0} 及「初始速度向量{V0}。可以求得「輸出」是 {x(t)},為系統每一個質塊的位移「時間域響應」。由圖示的xi(t)方程式,可以看到是「模態座標(modal coordinate) qr(t),與「模態振型向量{φr} 的線性組合(linear combination),此稱為「擴充原理(expansion theorem)
4.      頻譜響應分析(spectrum response analysis):當結構系統受到「隨機」的「外部激振」時,如圖示的「隨機外力{f(t)},若以前項的「暫態響應分析」方式求解「時間域響應」,雖然可行,但是不容易解析、也曠日廢時,所以會將「隨機外力{f(t)},進行FFT(快速傅立業轉換)甚麼是頻譜分析?】,求得「隨機外力」的「自身功率頻譜[Gff(ω)],透過「頻譜響應分析」方式,求解得到系統的位移「頻率域響應[Gxx(ω)],也就是位移的「功率頻譜密度函數」。對任一個自由度的Gxx(ω) 取積分、開根號,可以求得該自由度位移的「平方平均根值(RMS, root mean square),相當於瞭解了結構的位移響應量值大小,可達到分析目的。

最後,總結一下本單元的討論,當有一個結構系統,要進行振動分析」,會有三個層次的步驟程序:

1.      實體結構(real structure)
2.      數學模型(mathematical model)
3.      系統運動方程式(system equations of motion)

有了「系統運動方程式」,可以對此系統進行理論解析。一個結構的「振動分析」,有四種分析:

1.      模態分析(modal analysis):瞭解結構的「振動模態(vibration mode),在求得結構的「模態參數(modal parameters)
2.      簡諧響應分析(harmonic response analysis):瞭解結構系統的「頻譜響應」特性,在求得結構的「頻率響應函數(frequency response function, FRF)
3.      暫態響應分析(transient response analysis):瞭解結構系統受到「外部激振」的「時間域響應」,在求得結構系統如位移的「時間域響應」
4.      頻譜響應分析(spectrum response analysis):瞭解結構系統受到「隨機(random)的「外部激振」之系統「響應」,在求得結構系統如位移的「頻率域響應」

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2020.07.25

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《振動噪音科普專欄》結構振動分析步驟流程:SDOF系統


這個單元來探討的主題:結構振動分析的步驟流程,會以單自由度 (single degree of freedom, SDOF)系統為例,來說明。

要說明之前,首先,回顧一下先前的單元:【「外力激振」的「單自由度系統」之振動分析】,參閱1,簡要說明如下:

1.      實體結構:也就是左上方圖示的質塊彈簧之實體結構」。以一個質塊」安置在「彈簧」的上方,而「彈簧」的另一端是固定在邊界上。如果,對「質塊」施予外力,「質塊」就會上下來回振盪,可以觀察「質塊」的「位移」運動狀態。
2.      數學模型:對此「質塊彈簧之實體結構」,進行「數學模型化(mathematical modeling),可以得到如圖示對應的「數學模型(mathematical model)。其中,「系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。「輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的「初始位移X0及「初始速度V0。「輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。
3.      運動方程式ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

接下來,可以藉由4W的思考想一下「振動分析」:

1.      What is?甚麼是「振動分析」?
2.      Why to do?為什麼要進行「振動分析」?
3.      What to get/know?:進行「振動分析」可以得到/知道甚麼
4.      How to do?如何進行「振動分析」?

接著,甚麼是「振動分析」?一個結構的「振動」「分析」,就是透過理論或實驗方法進行「分析」,以瞭解結構的「振動」現象、行為、特徵及影響。

一個結構的「振動」「分析」,可以分為四種類型,從WHY to do?WHAT to get/know?分別說明如下:

1.      模態分析(modal analysis)WHY:瞭解結構的「振動模態(vibration mode)WHAT to get?:求得結構的「模態參數(modal parameters)
2.      簡諧響應分析(harmonic response analysis)WHY:瞭解結構系統的「頻譜響應」特性。WHAT to get? 求得結構的「頻率響應函數(frequency response function, FRF)
3.      暫態響應分析(transient response analysis)WHY:瞭解結構系統受到「外部激振」的系統「時間域響應」WHAT to get?:求得結構系統如位移的「時間域響應」
4.      頻譜響應分析(spectrum response analysis)WHY:瞭解結構系統受到「隨機(random)的「外部激振」之系統「響應」WHAT to get?:求得結構系統如位移的「頻率域響應」

參閱2,是結構振動分析的步驟流程,會以另外一角度,來看如何進行單自由度系統」的四種「振動分析」。由2的流程圖,可以從兩個方向討論:

1.          振動理論分析:由上而下的流程,是進行振動理論分析」的程序步驟,也就是本單元的討論重點。
2.          實驗模態分析:由下而上的流程,則是進行實驗模態分析」的程序步驟,我們再另闢單元討論。

要進行一個結構的振動分析」,是有多個步驟程序,參閱2說明如下:

1.      數學模型化(mathematical modeling):對「實際結構(real structure),進行「數學模型化」,可以得到結構的「數學模型(mathematical model)
2.      推導運動方程式(derivation of equation of motion (EOM)):由結構的「數學模型」,進行「推導運動方程式」,可以得到可描述系統的「系統方程式(system equations),不同系統特性,會有不同的數學方程式,例如:「單自由度系統」是二階的常微分方程式,「多自由度系統」會是二階的聯立常微分方程式,而「連續系統」則是偏微分程式。
3.      模態分析(modal analysis):由得到的系統方程式」,進行「理論模態分析」,可以求得系統的「模態參數」。進而,可以將原始物理域的「系統方程式」,以「模態參數」表示成模態域的「系統方程式」,此步驟有助於後續的響應分析。
4.      模態域數學模型(modal domain mathematical model):由模態域的「系統方程式」,可以描繪出等效於「實際結構」、以及等效於物理域的「數學模型」,所對應的模態域的「數學模型」,於此,有助於瞭解結構的「模態參數」特徵。
5.      簡諧響應分析(harmonic response analysis):係基於系統受到簡諧激振(harmonic excitation)假設,可以求得系統的「簡諧響應(harmonic response),稱之為「頻率響應函數(frequency response function, FRF)
6.      暫態響應分析(transient response analysis):若結構系統受到已知的時間域外力(external force),透過「暫態響應分析」,可求得結構系統如位移的「時間域響應」
7.      頻譜響應分析(spectrum response analysis):如果,結構系統受到的是「隨機(random)的「外部激振(external excitation),透過「頻譜響應分析」,可求得結構系統如位移的「頻率域響應」

在此,取單自由度系統」以此程序步驟,進行探討:

1.      數學模型化(mathematical modeling):首先有「實際結構」,一個質塊」安置在「彈簧」的上方,對「質塊」施予外力,「質塊」就會上下來回振盪,可以觀察「質塊」的「位移」運動狀態。進行「數學模型化」,可以得到如圖示對應的「數學模型」。其中,「系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。「輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的「初始位移X0及「初始速度V0。「輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。
2.      推導運動方程式(derivation of equation of motion (EOM)):對此「單自由度系統」,可以得到ma+cv+kx=f(t),是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0
3.      模態分析(modal analysis)主要在求得結構的「模態參數(modal parameters)。在此單自由度系統的「模態參數」為:「自然頻率」,ωn=2πfn=(k/m)^0.5,「阻尼比」,ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,是「臨界黏滯阻尼係數」。所以,由「系統參數」:mck,就可以求得「自然頻率ωn以及「阻尼比ξ
4.      模態域數學模型(modal domain mathematical model):有了系統原始物理域的「系統方程式」,可以轉換為以「模態參數」表示之模態域的「系統方程式」。在此,模態域的「數學模型」是以「自然頻率ωn以及「阻尼比ξ 表示,而物理域的「數學模型」,是以「系統參數」:mck 表示。另外,也帶入了「模態外力(modal force)及「模態座標(modal coordinate)的概念,這對後續的分析是很有幫助。附註:在「多自由度系統」及「連續系統」之模態域的「系統方程式」更可以看到好處,是可以將二階的聯立常微分方程式、及偏微分程式,分解為獨立的二階常微分方程式,也就是化簡為 n個、或無窮多個等效的「單自由度系統」。此程序可稱為「理論模態分析(theoretical modal analysis, TMA),我們再另闢單元討論。
5.      簡諧響應分析(harmonic response analysis)主要在求得結構的「頻率響應函數(frequency response function, FRF),圖示以H(ω)代表,其物理意義是:結構受到「簡諧激振(harmonic excitation),其「外力振幅」為F,而系統的「穩態響應」也是「簡諧響應」,其「位移振幅」為X,所以H(ω)是輸出的「位移振幅X除以輸入的「外力振幅FH(ω)=X/F
6.      暫態響應分析(transient response analysis)主要在求得結構系統如位移的「時間域響應」。當已知系統的外力f(t),以及質塊本身的「初始位移X0及「初始速度V0。可以求得「輸出」是x(t),為系統質塊的位移「時間域響應」。
7.      頻譜響應分析(spectrum response analysis)當結構系統受到「隨機」的「外部激振」時,可求得「隨機外力」的「自身功率頻譜Gff(f),透過「頻譜響應分析」,即能求解系統位移的「頻率域響應Gxx(f),也就是位移的「功率頻譜密度函數」。

綜合本單元的討論,是從【「外力激振」的「單自由度系統」之振動分析】談起,在先前此單元,是個別的看實際結構」、「數學模型」、及「系統方程式」,以及有四種「振動分析」:「模態分析」、「簡諧響應分析」、「暫態響應分析」、「頻譜響應分析」。而本單元的討論,是將這些個別的分析工作事項(tasks),綜合歸納了系統化的結構振動分析步驟,以流程化的方式呈現討論。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2020.07.21

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1、「外力激振」的「單自由度系統」之振動分析
2、結構振動分析步驟流程:SDOF系統