《振動噪音產學技術聯盟》純Sine波、有雜訊Sine波、扭曲Sine波、截斷Sine波的信號，頻譜會有甚麼不同特徵？– Harmonics 諧頻

 

這個單元要來探討的主題是：純Sine波(pure sine wave)、有雜訊Sine波(sine wave with random noise)、扭曲Sine波(distorted sine wave)、截斷Sine波(clipped sine wave)的信號，他們的「頻譜」(spectrum)會有甚麼不同特徵？。特別要來介紹「諧頻」(Harmonics)的特徵。

 

首先，參閱圖片中間的系列圖示，呈現的是不同Sine波的「時間波形」(time waveform)，簡要說明如下：

 

1.      純Sine波(pure sine wave)：需要知道這個Sine波的頻率(frequency)以及其對應的振幅(amplitude/magnitude)。一般正常的「轉動機械」(rotary machinery) /「轉子系統」(rotor system)，最常見到的Sine波信號，就是其「轉速頻率」(rotating frequency)。

2.      有雜訊Sine波(sine wave with random noise)：實務量測到的Sine波，常會有隨機雜訊(random noise)。如圖示，在Sine波上，有些微的微小隨機波動信號。

3.      扭曲Sine波(distorted sine wave)：由於除了「轉速頻率」會有其他頻率效應的影響，會使得「轉速頻率」的純Sine波，呈現扭曲Sine波(distorted sine wave)的現象。

4.      截斷Sine波(clipped sine wave)：可能是來自不當的量測，或是機器的轉動受到某種因素的限制，而形成截斷Sine波(clipped sine wave)的現象。

 

本單元的重點，要來觀察以上這4種Sine波的「頻譜」(spectrum)特徵。當然就需要進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。參閱圖片左上方，FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，重點說明如下：

 

1.      Input輸入：就是一個信號的「時間波形」(time waveform)，本單元將探討4種Sine波的時間波形。純Sine波(pure sine wave)的頻率(frequency)是10 Hz，而其對應的振幅(amplitude/ magnitude)是1。

2.      System系統：在此FFT，就是系統。就是要進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。

3.      Output輸出：當然就是「時間波形」信號的「頻譜」(spectrum)。圖片右邊的圖示，可以觀察到對應4種Sine波之「頻譜」。

4.      Control控制：有三大項，包括：(1) FFT 參數(parameters)，(2) 窗函數形式(Window Type)，(3) 平均處理(Averaging)。

 

針對第一個重要選項，是FFT 參數(parameters)，主要有兩個變數需要設定，定義如下：

 

1.      Fmax = 200 Hz：最高有效頻率(maximum effective frequency)，單位：Hz。

2.      LOR = 200 條：頻率解析條數(lines of resolution, LOR)，單位：條(lines)。

 

在此設定，R = Fmax / LOR = 1 Hz：頻譜的頻率解析度(Resolution)。因為，純Sine波(pure sine wave)的頻率(frequency)是F=10 Hz，F / R =整數，所以，進行FFT分析，不會有洩漏(leakage)問題。

 

同時，第二個重要選項，是窗函數形式(Window Type)，因為，沒有洩漏(leakage)問題，就可以選擇”Box”「窗函數」，就是「方形/均勻/矩形窗函數」，相當於是”無”「窗函數」(without window)的效應。

 

第三個重要選項，是平均處理(Averaging)，定義如下：

 

1.      線性平均(Linear averaging)。

2.      平均次數(Number of Averaged)：Navg = 5次。

3.      平均重疊率(Overlap % for averaging)：Overlap = 50 %。

 

採用以上的Control variables控制變數，進行FFT分析，可以取得對應4種Sine波之「頻譜」，如圖片右邊的圖示，討論如下：

 

1.      純Sine波(pure sine wave)：其「頻譜」，分別有Linear和Logarithmic兩個圖示。只有在F=10 Hz有峰值，且振幅(magnitude)為1。其他頻率的振幅皆為0，實際上，若由Logarithmic圖示觀察，其數值為負的十幾次方，這是數值分析上的效應，實際上，就是0。

2.      有雜訊Sine波(sine wave with random noise)：其「頻譜」，也是只有在F=10 Hz有峰值，且振幅(magnitude)為1.00329，此振幅值，比純Sine波略大一些，因為來自隨機雜訊(random noise)的影響。更可以從Linear和Logarithmic兩個圖示，可以看出，在其他頻率時，都有微小的振幅值，這個現象稱之為「基底雜訊」(noise floor)，主要是此隨機雜訊(random noise)是寬頻帶的隨機雜訊。

3.      扭曲Sine波(distorted sine wave)：其「頻譜」，在F=10 Hz有峰值，且振幅(magnitude)為1.05467。同時，在20、30、…等頻率，剛好是F=10 Hz的倍數，都可以觀察到峰值(peaks)，這種類型的頻譜特徵，稱之為「簡諧倍頻」(Harmonics)，常簡稱為「諧頻」。會有這種Harmonics「諧頻」現象的頻譜，主要是因為，時間波形若是接近Sine波，但又不是Sine波，就會有此現象。

4.      截斷Sine波(clipped sine wave)：其「頻譜」，也和扭曲Sine波(distorted sine wave)的F=10 Hz的Harmonics「諧頻」現象，很相似。不過，在F=10 Hz有峰值，且振幅(magnitude)為0.857621，略小於1。這是因為，截斷波(clipped wave)的效應，此Sine波的振幅減小了。又，會出現Harmonics「諧頻」現象，除了解釋為接近Sine波，但又不是Sine波。更具體的物理意義是：這個截斷Sine波(clipped sine wave)是週期的(periodic)、重複的(repeated)、連續的(continuous)信號。其數學意義是：傅立葉級數(Fourier series)的概念，所以，就會有「諧頻」、「簡諧倍頻」(Harmonics)的頻譜特徵。

 

其中的扭曲Sine波(distorted sine wave)以及截斷Sine波(clipped sine wave)，呈現接近sine波，但，又不是純Sine波(pure sine wave)，所以，從「頻譜」(spectrum)圖，會觀察到的「諧頻」(Harmonics)現象。

 

綜合一下這個單元的討論，重點說明如下：

 

1.      列舉了4種類型sine波的「時間波形」(time waveform)，包括：(1) 純Sine波(pure sine wave)、(2) 有雜訊Sine波(sine wave with random noise)、(3) 扭曲Sine波(distorted sine wave)、(4) 截斷Sine波(clipped sine wave)。

2.      複習討論了：FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，包括：Input輸入、System系統、Output輸出、Control控制。以瞭解如何取得「頻譜」(spectrum)。

3.      針對Control variables控制變數，尤其重要，設定的參數，包括：(1) FFT 參數(parameters)：Fmax = 200 Hz，以及LOR = 200 條。(2) 窗函數形式(Window Type)：選擇”Box”「窗函數」，就是「方形/均勻/矩形窗函數」，相當於是”無”「窗函數」(without window)的效應。(3) 平均處理(Averaging) 定義：線性平均(Linear averaging)、Navg = 5次、Overlap = 50 %。

4.      透過FFT分析，取得了4種Sine波的「時間波形」(time waveform)，所對應之「頻譜」(spectrum)。在(1) 純Sine波以及(2) 有雜訊Sine波，會有單一頻率的峰值(peak)。而，(2) 有雜訊Sine波，同時會有「基底雜訊」(noise floor)的現象。對於 (3) 扭曲Sine波以及(4) 截斷Sine波，則會有所謂「諧頻」、「簡諧倍頻」(Harmonics)的頻譜特徵。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2025.10.23

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《振動噪音產學技術聯盟》進行FFT，如何做ISOC分析？

 

這個單元要來探討的主題是：進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)，如何做【ISOC】分析？

 

首先，就拆開關鍵詞(key words)來看：

 

1.      進行FFT「快速傅立葉轉換」 (fast Fourier transform)。

2.      如何做【ISOC】分析？

 

就以【4W】心法：(1) What is？(2) Why to do？(3) What goals？(4) How to do？分別來解讀這兩件事！

 

進行FFT「快速傅立葉轉換」 (fast Fourier transform)的【4W】心法思考：

 

1.      What is？甚麼是FFT？FFT，fast Fourier transform的縮寫，就是「快速傅立葉轉換」。

2.      Why to do？為什麼要進行FFT？由信號的「時間波形」(time waveform)，不易瞭解信號的特徵。

3.      What goals？進行FFT，要達到甚麼目標呢？透過FFT，可以取得一個信號的「頻譜」(spectrum)，可以解析出信號的頻率(frequency)以及其對應的振幅(amplitude/magnitude)。

4.      How to do？要如何進行FFT呢？這個單元，就利用【ISOC】心法，來分析。

 

其次，談到【ISOC】心法，就以【4W】心法思考：

 

1.      What is？甚麼是【ISOC】？【ISOC】分別是：Input輸入、System系統、Output輸出、Control控制。

2.      Why to do？為什麼要進行【ISOC】分析？可以系統化的解構FFT分析。

3.      What goals？進行【ISOC】分析，要達到甚麼目標呢？瞭解FFT的【ISOC】分析的具體內涵。

4.      How to do？要如何進行【ISOC】分析呢？可以參閱圖片右上的FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)。

 

由FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，重點說明如下：

 

1.      Input輸入：就是一個信號的「時間波形」(time waveform)，圖示有類似振幅調制(amplitude modulation, AM)的時間波形。

2.      System系統：在此FFT，就是系統。

3.      Output輸出：當然就是這個「時間波形」信號的「頻譜」(spectrum)。圖示可以觀察到是典型的AM振幅調制之「頻譜」。

4.      Control控制：有三大項，包括：(1) FFT 參數(parameters)，(2) 窗函數形式(Window Type)，(3) 平均處理(Averaging)。

 

在此，讀者應有一個認知，在實務的量測以及軟體的應用分析。在進行FFT分析，雖然，可能只是一鍵式的操作(one button’s operation)，但是，有許多控制選項(control option)。本單元就在簡介這些Control variables控制變數。

 

第一個重要選項，是FFT 參數(parameters)，主要有兩個變數需要設定，通常是：

 

1.      Fmax：最高有效頻率(maximum effective frequency)，單位：Hz。

2.      LOR：頻率解析條數(lines of resolution, LOR)，單位：條(lines)。

 

讀者可以參考先前單元：第179篇，【FFT系列：FFT分析參數 Fmax 及 LOR 對量測信號之影響？】。

 

第二個重要選項，是窗函數形式(Window Type)，讀者可以參考先前單元：第183篇，【FFT系列：甚麼是洩漏(leakage)？窗函數(window)如何改善洩漏(leakage)？】。常見的「窗函數」(window function)，列舉如下：

 

1.      ”Box”「窗函數」：也稱為”Uniform”、或”Rectangular”，中文稱為「方形/均勻/矩形窗函數」，相當於是”無”「窗函數」(without window)的效應。

2.      ”Hanning”「漢寧窗函數」：加入「漢寧窗函數」處理，原始信號在時間波形的取樣區間兩端，會強迫歸零，所以可以減少「洩漏」現象。

3.      ”Flat Top”「平頂窗函數」：適用在單頻率的校正信號之頻譜分析，例如：加速度規校正及麥克風感測器校正，因為「振幅值解析」幾乎正確，雖然，「頻率解析」不好，但是對校正而言，「振幅值解析」的正確性至關重要。

4.      ”Hamming”「漢明窗函數」：類似於”Hanning”「漢寧窗函數」。

 

第三個重要選項，是平均處理(Averaging)，通常需要定義：

 

1.      線性平均(Linear averaging)：是一種平均處理(Averaging)方式，對「頻譜」(spectrum)，取線性平均(Linear averaging)。也有RMS平均處理(RMS Averaging)、TSA時間同步平均處理(Time Synchronous Averaging, TSA)等之平均處理(Averaging)方式。

2.      平均次數(Number of Averaged)：設定要取幾個「頻譜」(spectrum)，進行平均處理(Averaging)。

3.      平均重疊率(Overlap % for averaging)：在設定所取得的「時間波形」(time waveform)之重疊率(Overlap %)。

 

所以，要進行FFT分析，就需要從【ISOC】分析，來瞭解其中的Control variables控制變數，才能取得正確的「頻譜」(spectrum)。

 

綜合這個單元的討論，進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)，如何做【ISOC】分析？重點整理如下：

 

1.      以【4W】心法：(1) What is？(2) Why to do？(3) What goals？(4) How to do？探討如何進行FFT「快速傅立葉轉換」 (fast Fourier transform)。

2.      以【4W】心法探討【ISOC】分析。

3.      透過FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，分別由Input輸入、System系統、Output輸出、Control控制，逐項探討其具體內涵。其中，Control variables控制變數，尤其重要，包括：(1) FFT 參數(parameters)，(2) 窗函數形式(Window Type)，(3) 平均處理(Averaging)。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2025.10.23

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《振動噪音產學技術聯盟》轉動機械 轉子系統的「頻率」有哪些？(8) 感應馬達有甚麼特徵頻率？

 

這個單元要來探討的主題是：「轉動機械」(rotary machinery) /「轉子系統」(rotor system)的「頻率」(frequency)有哪些？(8)「感應馬達」(Induction Motor)有甚麼「特徵頻率」(characteristic frequency)？

 

這是這個系列的第8篇，著重在介紹「感應馬達」以及其所特有的「特徵頻率」。

 

參閱圖片中間上方的圖示，是一個典型的「感應馬達」組成實體架構，是工廠常見的機器設備。主要的單元，會有轉軸上的「轉子」(Rotor)，以及固定在馬達外殼上的「定子」(Stator)。

 

參閱圖片右上方的圖示，是一個典型的三相交流「感應馬達」主要組成示意圖，要探討其「特徵頻率」，需瞭解其主要的組成：

 

1.      「定子」(Stator)：定子的組成，是由一系列的很薄「定子矽鋼片」(Laminate)所疊成，參閱圖示，每個矽鋼片會有凹槽，稱為「定子槽」(Winding Slot)。透過「定子槽」會有「定子繞線」(Winding)。

2.      「轉子」(Rotor)：轉子的組成，也是由一系列的很薄「轉子矽鋼片」(Laminate)所疊成，參閱圖示，有近似橢圓形的孔，這是在穿入𝑵_𝑹𝑩個「轉子條」(Rotor Bar)。如果，移除「轉子矽鋼片」疊層，就剩下「轉子條」與端板，形成一個鼠籠的外觀，所以過去有稱之為鼠籠式感應馬達。「轉子」與「定子」之間，會保有均勻的氣隙(air gap)，使得「轉子」可以穩定運轉。

 

「感應馬達」的作動原理，簡述如下：

 

1.      當「定子繞線」施予三相交流電，與「定子矽鋼片」作用，將產生「定子磁場」(Stator magnetic field)。

2.      當「定子」通電後，所形成的「定子磁場」，會感應「轉子條」而通電。

3.      由「轉子條」的電場，與「轉子矽鋼片」作用，將產生「轉子磁場」(Rotor magnetic field)。

4.      利用磁場「同極相斥」的原理，促使「轉子磁場」與「定子磁場」保持同極，由於「定子」是固定的，因此，「轉子」就會周而復始的旋轉。

 

在推算「感應馬達」的「特徵頻率」，需要的主要參數，包括：

 

1.      「電工線頻」(Line Frequency, LF)：𝑳𝑭是電力系統的供電頻率，在台灣是𝑳𝑭 = 60 Hz。有些國家是𝑳𝑭 = 50 Hz。在此注意，如果是變頻馬達，𝑳𝑭就是實際的供電頻率。

2.      「極數」(Number of Pole)：𝑷 = 馬達的「極數」。P=2, 4, 6, …。

3.      「馬達額定/同步轉速頻率」(synchronous speed frequency)：𝑭𝒔𝒚𝒏 = (𝟐×𝑳𝑭)/𝑷 (Hz)。如果，已知供電頻率𝑳𝑭，以及馬達的「極數」𝑷，即可得知「馬達額定/同步轉速頻率」𝑭𝒔𝒚𝒏。

 

「感應馬達」(Induction Motor)的「特徵頻率」(characteristic frequency)，綜合如下：

 

1.      「馬達實際轉速」(Motor real speed)：𝑭𝒓𝒆𝒂𝒍 = 𝑺 = 𝟏𝑿。𝟏𝑿：代表的是馬達轉速的一個「階次」(order)，也就是馬達轉速的一倍頻率。也可以表示為「轉速頻率」(rotating frequency)，單位：Hz。或是，表示為每分鐘迴轉數：RPM (revolution per minute)或CPM (cycle per minute)

2.      「馬達滑差頻率」(Motor slip frequency)：𝑭𝒔𝒍𝒊𝒑=𝑭𝒔𝒚𝒏 − 𝑭𝒓𝒆𝒂𝒍。也就是，「馬達額定/同步轉速頻率」𝑭𝒔𝒚𝒏 和「馬達實際轉速頻率」𝑭𝒓𝒆𝒂𝒍的差值。

3.      「極通過頻率」(Pole Pass Frequency, PPF)：𝑷𝑷𝑭=𝑷×𝑭𝒔𝒍𝒊𝒑。也就是，「極數」𝑷和「馬達滑差頻率」𝑭𝒔𝒍𝒊𝒑的乘積。

4.      「轉子條通過頻率」(Rotor Bar Frequency, RBF)：𝑹𝑩𝑭=𝑵_𝑹𝑩×𝑺 =𝑵_𝑹𝑩 𝑿。也就是，「轉子條數量」𝑵_𝑹𝑩和「馬達實際轉速」𝑭𝒓𝒆𝒂𝒍 = 𝑺 = 𝟏𝑿的乘積。

5.      「兩倍電工線頻」(Twice of LF)：𝟐×𝑳𝑭。由於，係交流電，一個電位循環，會有正負的波動，因此，會有兩次的正負磁場的轉換，所以，「兩倍電工線頻」𝟐×𝑳𝑭的頻率特徵，會合理的一直存在。

 

接著，舉一個實際的數值計算案例。假設，有一部「感應馬達」，已知：

 

1.      「電工線頻」(Line Frequency, LF)：𝑳𝑭 = 60 Hz。

2.      馬達的「極數」(Number of Pole)：𝑷 = 2。

3.      馬達的「轉子條數量」(Number of Rotor Bar)：𝑵_𝑹𝑩= 33。

4.      「馬達實際轉速」(Motor real speed)：𝑭𝒓𝒆𝒂𝒍 = 𝑺 = 1770 CPM = 𝟏𝑿。

 

由以上已知參數，可以推算取得「感應馬達」(Induction Motor)的「特徵頻率」(characteristic frequency)，綜合如下：

 

1.      「馬達額定/同步轉速頻率」(synchronous speed frequency)：𝑭𝒔𝒚𝒏 = (𝟐×𝑳𝑭)/𝑷 (Hz)。𝑭𝒔𝒚𝒏 = (𝟐×60)/4=30 (Hz) = 1800 CPM。

2.      「馬達滑差頻率」(Motor slip frequency)：𝑭𝒔𝒍𝒊𝒑=𝑭𝒔𝒚𝒏 − 𝑭𝒓𝒆𝒂𝒍。𝑭𝒔𝒍𝒊𝒑 = 1800 – 1770 = 30 CPM = 0.5 Hz。

3.      「極通過頻率」(Pole Pass Frequency, PPF)：𝑷𝑷𝑭=𝑷×𝑭𝒔𝒍𝒊𝒑。𝑷𝑷𝑭= 4 x 0.5 = 2 Hz。

4.      「轉子條通過頻率」(Rotor Bar Frequency, RBF)：𝑹𝑩𝑭=𝑵_𝑹𝑩×𝑺 =𝑵_𝑹𝑩 𝑿 = 33 𝑿。

5.      「兩倍電工線頻」(Twice of LF)：𝟐×𝑳𝑭= 𝟐×60 =120 Hz。

 

以上，有關「感應馬達」(Induction Motor)的「特徵頻率」(characteristic frequency)，都有其隱含的物理意義。針對「感應馬達」，可透過振動監測(vibration monitoring)、頻譜分析(spectral analysis)，得到其響應的振動頻譜(vibration spectrum)。不同的故障狀態(fault condition)，會有這些「特徵頻率」的出現。有關「感應馬達」的振動分析與診斷，我們再另闢單元討論。

 

綜合一下這個單元的討論，有關「感應馬達」(Induction Motor)的「特徵頻率」(characteristic frequency)，總結如下：

 

1.      典型的三相交流「感應馬達」主要組成：(1) 「定子」(Stator)：一系列的很薄「定子矽鋼片」(Laminate)所疊成，有「定子槽」(Winding Slot)和「定子繞線」(Winding)。(2) 「轉子」(Rotor)：一系列的很薄「轉子矽鋼片」(Laminate)所疊成，以及「轉子條」(Rotor Bar)。

2.      「感應馬達」的主要參數：(1) 「電工線頻」(Line Frequency, LF)：𝑳𝑭是電力系統的頻率，在台灣是𝑳𝑭 = 60 Hz。有些國家是𝑳𝑭 = 50 Hz。(2) 馬達的「極數」(Number of Pole)：P=2, 4, 6, …。(3) 「馬達額定/同步轉速頻率」(synchronous speed frequency)：𝑭𝒔𝒚𝒏 = (𝟐×𝑳𝑭)/𝑷 (Hz)。。

3.      「感應馬達」(Induction Motor)的「特徵頻率」(characteristic frequency)，如下：(1) 「馬達實際轉速」(Motor real speed)：𝑭𝒓𝒆𝒂𝒍 = 𝑺 = 𝟏𝑿。(2) 「馬達滑差頻率」(Motor slip frequency)：𝑭𝒔𝒍𝒊𝒑=𝑭𝒔𝒚𝒏 − 𝑭𝒓𝒆𝒂𝒍。(3) 「極通過頻率」(Pole Pass Frequency, PPF)：𝑷𝑷𝑭=𝑷×𝑭𝒔𝒍𝒊𝒑。(4) 「轉子條通過頻率」(Rotor Bar Frequency, RBF)：𝑹𝑩𝑭=𝑵_𝑹𝑩×𝑺 =𝑵_𝑹𝑩 𝑿。(5) 「兩倍電工線頻」(Twice of LF)：𝟐×𝑳𝑭。

4.      舉一個實際的數值計算案例，有一部「感應馬達」，已知參數：(1) 𝑳𝑭 = 60 Hz；(2)𝑷 = 2；(3) 𝑵_𝑹𝑩= 33；(4) 𝑭𝒓𝒆𝒂𝒍 = 𝑺 = 1770 CPM = 𝟏𝑿。可以推算求得：(1) 𝑭𝒔𝒚𝒏 = (𝟐×𝑳𝑭)/𝑷 = (𝟐×60)/4=30 (Hz) = 1800 CPM。(2) 𝑭𝒔𝒍𝒊𝒑=𝑭𝒔𝒚𝒏 − 𝑭𝒓𝒆𝒂𝒍 = 1800 – 1770 = 30 CPM = 0.5 Hz。(3) 𝑷𝑷𝑭=𝑷×𝑭𝒔𝒍𝒊𝒑 = 4 x 0.5 = 2 Hz。(4) 𝑹𝑩𝑭=𝑵_𝑹𝑩×𝑺 =𝑵_𝑹𝑩 𝑿 = 33 𝑿。(5) 𝟐×𝑳𝑭= 𝟐×60 =120 Hz。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2025.10.15

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