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《振動噪音科普專欄》如何求得彈簧的彈簧常數?



在先前單元:【如何計算質塊彈簧系統的「自然頻率」?】,以「質塊彈簧系統」為例,探討在已知質塊的「質量m,以及彈簧的「彈簧常數k,可以求得「自然頻率fn。這個單元,反過來,假設知道質塊的「質量m,而不知道彈簧的「彈簧常數k時,要如何求得「彈簧常數k

如圖示「質塊彈簧之實體結構」,以一個「質塊」吊掛在「彈簧」的下方,如果,對「質塊」施予外力,「質塊」就會來回振盪,可以觀察「質塊」的「位移」運動狀態。

對此「質塊彈簧之實體結構」,進行「數學模型化(mathematical modeling),可以得到對應的「數學模型(mathematical model),說明如下:

1.          質塊(mass):假設質塊為「剛體(rigid body),以一個質點「質量」m,代表質塊,SI制單位:kg
2.          阻尼元件(damper):為了模擬彈簧的「阻尼效應」,常採用的「阻尼模型(damping model)是「黏滯阻尼模型(viscous damping model),以「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)c,代表此彈簧的「阻尼效應(damping effect)SI制單位:N / m/s = N.s/m,是彈簧變形每單位速度的受力,也就是「彈簧阻尼力fd=c*vv是質塊的速度。
3.          彈簧(spring):彈簧以其「彈簧常數(spring constant)k,代表此彈簧的剛性(stiffness)SI制單位:N/m,是彈簧每單位長度變形的受力。

假設,忽略c黏滯阻尼係數」,沒有「阻尼」效應,參閱圖示的「自然頻率」方程式,可知:fn = 1/(2π)*(k/m)^0.5。也可參考圖示的計算範例,已知:m= 1 (kg)k = 100 (N/m),則「自然頻率」ωn=10 (rad/sec),或fn = 1.5915 (Hz),注意:ωnfn兩者的單位不同,ωnfn兩者的關係:ωn=2πfn,因為,一個圓,轉一圈的徑度是2π。同時,也可以由「自然頻率」fn,推算得到「質塊」的「振動週期Tn = 1/fn = 0.6283 (sec)

m= 1 (kg)k = 100 (N/m),分別帶入不同「黏滯阻尼係數c,對質塊下拉相同的距離,釋放質塊後,可以觀察如影片的質塊上下運動的狀態,說明如下:

1.      黏滯阻尼係數c =0 (N-s/m):相當於「無阻尼(undamped)效應,可以觀察,質塊來回振盪,沒有衰減的現象。須注意,這是假設的理想狀態,在實務上,結構都會有「阻尼」效應。
2.      黏滯阻尼係數c =1 (N-s/m):有「阻尼」效應,可以觀察,質塊來回振盪,逐漸衰減到靜止的現象。
3.      黏滯阻尼係數c =2 (N-s/m):有「阻尼」效應,可以觀察,質塊來回振盪,也是逐漸衰減到靜止的現象,但是,因為c=2 > c=1,所以,與前例相比較,質塊震盪的衰減速度,比較快。

比較以上三種c=012 (N-s/m)的不同「阻尼」狀態,可以發現一個共通點,也就是質塊的「振動週期Tn是相同的。在此須注意:當c=0時,「振動週期」Tn剛好是「自然頻率」fn的倒數;當c0時,「振動週期」Tn則是接近於「自然頻率」fn的倒數,此現象,再另闢單元介紹。

知道了質塊震盪的「振動週期Tn特性,就可以利用此關係特性,據以推估彈簧的「彈簧常數k,簡要步驟說明如下:

1.      量測質塊的「質量」m:質塊的質量可以容易由磅秤量測取得。
2.      量測質塊上下震盪的「振動週期」Tn:將質塊與彈簧連結,拉伸與釋放質塊,進行質塊的振動實驗,取得位移響應x(t)。不必有完整的位移時間域響應x(t),重要的是,要取得一個完整的「振動週期」Tn。可以由碼表,度量一個周期的時間。
3.      計算彈簧的「彈簧常數」k:由「振動週期」Tn,與「自然頻率fn的關係式,可以求得:k = m*(2*π/Tn)^2。可參閱圖示的計算實例。

這個單元以一個「質塊」吊掛在「彈簧」的下方,對這個「質塊」往下拉一個距離,然後釋放開質塊,由質塊會來回的振盪現象,透過「數學模型化」的步驟,合理取得mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」的「數學模型」。並由質塊的「質量m,經由拉伸與釋放質塊,取得質塊的「振動週期Tn,即可推估彈簧的「彈簧常數k希望由本單元的探討,讀者能夠進一步了解自然頻率」以及質塊的「振動週期」現象以及其應用。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2019.07.15

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