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《振動噪音科普專欄》¼車輛行駛模型(Quarter Car Model) – (2)簡諧響應分析(Harmonic Response Analysis)


這個單元要來探討的主題是:【¼車輛行駛模型 (Quarter Car Model) (2) 簡諧響應分析(Harmonic Response Analysis)。這是這個系列的第二篇。

 

在先前單元:#318如何建構「離散系統」的「數學模型」?- 車輛行駛模型(Vehicle Riding Model)】,介紹了¼車體模型】的「數學建模(mathematical modeling),以取得對應於「實際結構」的等效「數學模型(mathematical model)

 

首先回顧一下,先前單元:#314車輛動力學(Vehicle Dynamic):如何定義車體的自由度(DOF)】,參閱圖示左上方示意圖,是「車輛動力學」對汽車慣用的DOF定義與變數符號,就是:𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝝓, 𝜽, 𝝍,分別是3個方向位移/平移自由度(displacement DOF),以及3個方向旋轉自由度(rotational DOF)

 

𝒙 縱向位移(longitudinal displacement)

𝒚 側向位移(lateral displacement)

𝒛 垂直位移(vertical displacement)

𝝓 翻滾角度(roll angle)

𝜽 前傾角度(pitch angle)

𝝍 旋轉角度(yaw angle)

 

參閱圖片左下方,以一個很簡化的【¼車體行駛動態分析模型】為例做說明。初步的假設呢,一部汽車會有4個輪子,此模型假設汽車的左右、前後對稱,所以只取了一個輪子,因此稱為【¼車體模型(quarter car model)

 

針對「離散系統(discrete system)的「數學建模」,有7個步驟,包括:

 

1. 定義系統之質塊元件

2. 定義系統之連接元件

3. 定義系統之自由度

4. 定義系統之邊界條件

5. 定義系統之輸入條件

6. 定義系統之初始條件

7. 定義有興趣之系統輸出參數

 

可以得到圖片中間下方的【¼車體行駛動態分析模型】。

 

要分析這個【¼車體模型(quarter car model),會有4種分析:

 

(1)   系統之模態參數(modal parameters)自然頻率(natural frequency )𝒇𝒓模態振型(mode shape)𝝓𝒓模態阻尼比(modal damping ratio)𝝃𝒓。必須進行「模態分析」(modal analysis)

(2)   系統之頻率響應函數FRF (frequency response function):在此會有興趣的是,位移傳輸比(displacement transmissibility)=𝑻𝒓=𝑿𝒓(𝒇)/𝒀(𝒇)𝒓=𝟏,𝟐,𝟑。必須進行「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)

(3)   系統的位移/速度/加速度之時間域響應:探討行駛於不同路面狀態的響應 𝒙(𝒕) , 𝒗(𝒕), 𝒂(𝒕)。必須進行「暫態響應分析」(transient response analysis)

(4)   系統的位移/速度/加速度之頻率域響應:探討行駛於隨機路面狀態的響應 𝑿(𝒇) , 𝑽(𝒇), 𝑨(𝒇)。必須進行「頻譜響應分析」(spectrum response analysis)

 

本單元的重點,主要在討論「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)

 

要對這個系統,進行後續的分析,就需要推導系統的運動方程式(equation of motion, EOM),參閱圖示中間上方,可以得到「基座激振多自由度系統」的通式如下:

 

[𝑀]{𝑥 ̈}+[𝐶]{𝑥 ̇}+[𝐾]{𝑥}=[𝐶’]{𝑦 ̇}+[𝐾’]{𝑦}

 

回顧前一個單元的「模態分析」:由系統運動方程式」的[𝑀][𝐶][𝐾]矩陣,就可以進行模態分析」,以求得系統的模態參數(modal parameters)由於此系統有3個自由度,所以,會有3振動模態(vibration mode),每個「振動模態」會有:

 

1.      自然頻率(natural frequency)𝒇𝒓𝒇1=1.2125 Hz𝒇2=4.6601 Hz𝒇3=10.7113 Hz

2.      模態阻尼比(modal damping ratio)𝝃𝒓𝝃1=0.0381𝝃2=0.1461𝝃3=0.3365

3.      模態振型(mode shape)𝝓𝒓{𝝓1}{𝝓2}{𝝓3},分別是3x1位移模態振型向量 (displacement mode shape vector)

 

在此,要進行「簡諧響應分析」,參閱圖示右上方,基本理念說明如下:

 

1.      路面位移輸入 𝒚(𝒕)是簡諧波:𝒚(𝒕)=𝒀𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)。其中,𝒀是簡諧位移振幅,而𝝎是簡諧激振頻率。

2.      系統自由度的位移,也是簡諧響應:𝒙𝒓(𝒕)=𝑿𝒓 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕𝝓𝒓 )𝒓=𝟏,𝟐,𝟑。其中,𝒙𝒓(𝒕)是第𝒓個自由度的簡諧響應位移振幅,而𝝓𝒓是第𝒓個自由度與𝒚(𝒕)簡諧位移輸入的相位角差。

 

簡諧響應分析」,主要在求得輸出與輸入之間的比值,𝑯(𝒇)= 𝑿𝒓(𝒇)/𝒀(𝒇),就是頻率響應函數FRF (frequency response function),由於輸出與輸入參數都是位移,所以,此𝑯(𝒇),稱為位移傳輸比(displacement transmissibility) =𝑻𝒓=𝑿𝒓(𝒇)/𝒀(𝒇)𝒓=𝟏,𝟐,𝟑

 

參閱圖示右下方,是此系統3個自由度的位移傳輸比」,其主要特徵說明如下:

 

1.      每一個自由度的位移傳輸比」曲線,可以看到有3個峰值(peaks),此峰值對應的頻率,會是系統的「自然頻率」。

2.      第一個峰值,可以觀察到比較尖銳,而另兩個峰值,明顯比較平緩,這是因為模態阻尼比𝝃𝒓的關係:𝝃1=0.0381𝝃2=0.1461𝝃3=0.3365𝝃1=0.0381比較小,所以,峰值比較尖銳,當模態阻尼比大,如𝝃2=0.1461𝝃3=0.3365,峰值尖銳度就比較平緩。

3.      須注意位移傳輸比」會是複數(complex number),圖示的「位移傳輸比」顯示的是其振幅值(amplitude)

 

綜合一下這個單元的討論,是針對【¼車體行駛動態分析模型】,也就是【¼車體模型(quarter car model)。著重於「簡諧響應分析(harmonic response analysis)的理念說明,可以求得系統的頻率響應函數FRF (frequency response function)。分析步驟,包括:

 

1.      推導系統的運動方程式(equation of motion, EOM):得到「基座激振多自由度系統」的通式,[𝑀]{𝑥 ̈}+[𝐶]{𝑥 ̇}+[𝐾]{𝑥}=[𝐶’]{𝑦 ̇}+[𝐾’]{𝑦}

2.      進行「簡諧響應分析(harmonic response analysis):可以得到𝑯(𝒇)頻率響應函數FRF (frequency response function)。由於輸出與輸入參數都是位移,所以,此𝑯(𝒇),又稱為位移傳輸比(displacement transmissibility) =𝑻𝒓=𝑿𝒓(𝒇)/𝒀(𝒇)𝒓=𝟏,𝟐,𝟑

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2023.05.16