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《振動噪音科普專欄》姆指琴系列(4):姆指琴的琴片之振動模態特性,和發聲頻率有關係嗎?

這個單元是姆指琴系列專欄的4,要來探討:姆指琴琴片」,其「振動模態(vibration modes)的特性,以及和「發聲頻率有甚麼關聯性呢?

 

甚麼是姆指琴(Kalimba)呢?參閱圖示,可知道姆指琴如何演奏,就是以手持音箱,並以兩手的姆指撥動琴片,進而會發出聲音,所以稱為「姆指琴」。

 

在此,再回顧一下「姆指琴構造」,包含:「琴片」、「琴片座」及「音箱」。這個「姆指琴」有7根「琴片」,以類似懸臂樑的方式固定在「琴片座」,而「琴片座」鎖固在「音箱」上,這個椰子殼製作的「音箱」,在圓形面板上,有開了一個圓孔,稱為「音孔」。這個「姆指琴」有7根「琴片」,長短各有不同,可以發出不同「音階」的聲音。

 

參閱圖示的左側,為「姆指琴」實體結構的發聲機制示意圖,透過姆指「施力」作用在「琴片」上,透過「琴片」的振動,傳遞到「琴片座」,進而傳遞到「音箱」,每一個結構體都會透過「空氣」發出聲音,傳遞聲音到人的「耳朵」,所以可以聽到「姆指琴」發出的聲音。

 

接下來,參閱圖示左側下方圖示,從另一個角度觀察姆指琴」的發聲機制,以「SPR流程圖」來討論,其中:

 

1.          SSource激振源。就是施加在「琴片」上的作用力𝒇𝒋 (𝒕)

2.          PPath路徑。可以概分為:「結構路徑(structural path),以及「空氣路徑(air path)。結構路徑包含了「琴片」、「琴片座」及「音箱」。「結構路徑」的振動與「空氣路徑」有互相耦合效應,進而可以發出聲音。

3.          RResponse響應或Receiver收受者。理念上,可以在結構上,以「加速規(accelerometer)量測得到結構振動的響應,以𝒂𝒊 (𝒕)表示。另外,可以在空間中,以「麥克風(microphone)量測發出的聲音,以𝒑𝒌 (𝒕)表示𝒂𝒊 (𝒕)是「結構路徑」的Response響應,而𝒑𝒌 (𝒕)是「空氣路徑」的Response響應。

 

大致瞭解了姆指琴」的發聲機制,這個單元要更深入來探討「琴片」的「振動模態」和「發聲頻率」的關係。

 

針對單一「琴片」,在此以「有限元素分析(finite element analysis, FEA),對「琴片」進行結構的「模態分析(modal analysis)

 

首先,建構「琴片」的「有限元素模型」,能夠對應實際「琴片」的幾何、材料、邊界特性,進行「模態分析」,參閱圖片左下方「模態分析」流程圖,可以求得「琴片」的「振動模態」,包括:𝒇𝒓自然頻率(natural frequency) 𝝓𝒓模態振型(mode shape)

 

參閱圖片右上方,為「姆指琴」的「琴片」之典型的 𝝓𝒓模態振型」特性,類似於「懸臂樑」結構,主要有兩個方向的「振動模態」。(1)垂直向的Z-方向彎曲模態(bending mode)(2)水平向的Y-方向彎曲模態。

 

3Z-方向彎曲模態的特徵,除了固定端為不動點外,第2個模態,會有1個「節點(nodal point),第3個模態,則會有2個「節點」(nodal point)。水平向的Y-方向彎曲模態,在主要有興趣的頻率範圍,僅有1個模態。

 

如果,再進行簡諧響應分析(harmonic response analysis),在「琴片」自由端施加外力 𝑭𝒋,取得該位置的加速度響應 𝑨𝒊,參閱圖片左下方「簡諧響應分析」流程圖,可以求得「琴片」的「頻率響應函數(frequency response function, FRF)𝑯𝒊𝒋(𝒇)=𝑨𝒊(𝒇)/𝑭𝒋(𝒇),參閱圖片右邊兩個上方圖示,分別是「琴片#01」及「琴片#04」的「頻率響應函數」曲線,特徵討論如下:

 

1.      頻率響應函數」:水平軸是頻率,單位為Hz,垂直軸是「頻率響應函數𝑯𝒊𝒋(𝒇)的振幅值,有數個「峰值(peaks),其頻率分別對應了該「琴片」的「自然頻率」,其對應的「模態振型」如圖示。「琴片#01」是最短的「琴片」,第1個模態的「自然頻率」,也就是「基音頻率」是364.06 Hz,而「琴片#04」是最長的「琴片」,其「基音頻率」是174.96 Hz。兩個「琴片」也都呈現出其他的較高頻率之模態「自然頻率」。

2.      峰值(peaks):隱含的意義,是姆指撥動「琴片」時,會激發的「琴片」「振動模態」,也會是潛在的「發聲頻率」。

 

由圖片右邊兩個下方圖示,分別是「琴片#01」及「琴片#04」的「聲音頻譜(sound spectrum),可以觀察出主要的「發聲頻率」,圖示中觀察的重點:

 

1.      綠色線標註的「峰值頻率」:對應的就是「琴片」的「振動模態」。

2.      紅色線標註的「峰值頻率」:是現階段還無法解讀的「發聲頻率」,此現象在爾後的姆指琴系列專欄,再作說明。

 

由以上琴片」的實際量測「聲音頻譜」,以及「琴片」模擬分析的「頻率響應函數𝑯𝒊𝒋(𝒇),也觀察到對應的「琴片」「自然頻率」,以及其對應的「模態振型」,可以確認「琴片」的「振動模態」,確實會貢獻到主要的「發聲頻率」。不過,仍然有數個「峰值頻率」是現階段還無法解讀的「發聲頻率」。

 

針對這個單元的主題:姆指琴」「琴片」的「振動模態」和「發聲頻率」有關嗎?答案是:有的。總結一下本單元的討論:

 

1.      琴片:探討「琴片」對「姆指琴」發聲機制的影響,是肯定的、明確的,而且和「琴片」的「振動模態」有直接關聯性。

2.      有限元素模型:以「有限元素分析(finite element analysis, FEA),對「琴片」進行結構的仿真模擬分析,能夠對應實際「琴片」的幾何、材料、及邊界特性。

3.      模態分析(modal analysis):進行「模態分析」,可以求得「琴片」的「振動模態」,包括:𝒇𝒓自然頻率(natural frequency) 𝝓𝒓模態振型(mode shape)

4.      簡諧響應分析(harmonic response analysis)進行簡諧響應分析」,可以求得「琴片」的「頻率響應函數(frequency response function, FRF)𝑯𝒊𝒋(𝒇)=𝑨𝒊(𝒇)/𝑭𝒋(𝒇)

5.      𝑯𝒊𝒋(𝒇)頻率響應函數(frequency response function, FRF):可以觀察到「峰值(peaks),隱含的意義,是姆指撥動「琴片」時,會激發「琴片」的「振動模態」,其模態的「自然頻率」,也會是潛在的「發聲頻率」。

6.      𝑮𝒑𝒑 (𝒇)聲音頻譜(sound spectrum):也可以觀察到「峰值(peaks),這些「峰值頻率」都是「姆指琴」的「發聲頻率」。

7.      比較 𝑯𝒊𝒋(𝒇)頻率響應函數」以及 𝑮𝒑𝒑 (𝒇)聲音頻譜:可以確認「琴片」的「振動模態」,確實會貢獻到主要的「發聲頻率」。不過,仍然有數個「峰值頻率」是現階段還無法解讀的「發聲頻率」。此現象在爾後的姆指琴系列專欄,再作說明。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2021.02.02

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