這個單元要來探討的主題是：「阻尼效應」(damping effect)對「自然頻率」(natural frequency)有影響嗎？
要探討這個主題，就先切入主題中的「阻尼效應」(damping effect)，常見且有實務應用的「阻尼模型」(damping model)，有兩種：
1.
「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)。讀者可參閱：#390，【甚麼是黏滯阻尼(viscous damping)？黏滯阻尼比(viscous damping ratio)？】。
2. 「結構阻尼模型」(structural damping model)，也可稱為「遲滯阻尼模型」(hysteretic damping model)。讀者可參閱：#391，【甚麼是結構阻尼(structural damping)？散失因子_損耗因數(loss factor)？】。
針對「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)，參閱圖片左邊圖示，重點摘述如下：
1. 參閱圖示的數學模型(mathematical model)，系統參數：「質量」𝒎、「黏滯阻尼係數」𝒄、「彈簧常數」𝒌。受到「外力」𝒇(𝒕)作用，質塊會有「位移」𝒙(𝒕)的響應。這是個單自由度系統(SDOF system)，其物理域(physical domain)運動方程式，可參閱圖片，等號左邊，依序是慣性力(inertia force)、阻尼力(damping force)、彈簧力(spring force)。等號右邊，則是「外力」(external force) 𝒇(𝒕)。
2. 「黏滯阻尼」(viscous damper)的假設：「黏滯阻尼力」(viscous damping force)：𝑭𝒅=𝒄𝒙 ̇ (N)。也就是「黏滯阻尼力」，是「黏滯阻尼係數」𝒄
和油壓缸移動的速度 𝒙 ̇，的乘積，都和「黏滯阻尼力」成正比。
3. 系統的「模態參數」(modal parameter)，有兩個：(1) 𝝎𝒏：「無阻尼自然頻率」(undamped natural
frequency)，其定義：𝝎𝒏=√(𝒌/𝒎)
(rad/s)。(2) 𝝃：「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)，其定義：𝝃=𝒄/C𝒄。其中，C𝒄 =𝟐√𝒎𝒌=𝟐𝒎
𝝎𝒏。
針對「結構阻尼模型」(structural damping model)，參閱圖片左邊圖示，重點摘述如下：
1. 參閱圖示的數學模型(mathematical model)，系統參數：「質量」𝒎、「結構阻尼係數」𝒉、「彈簧常數」𝒌。受到「外力」𝒇(𝒕)作用，質塊會有「位移」𝒙(𝒕)的響應。這是個單自由度系統(SDOF system)，其物理域(physical domain)運動方程式，可參閱圖片，等號左邊，依序是慣性力(inertia force)、彈簧力(spring force)、阻尼力(damping force)。等號右邊，則是「外力」(external force) 𝒇(𝒕)。
2. 「結構阻尼」(structural damping)的假設：「阻尼力」(damping force)：𝑭𝒅=𝒊𝒉𝒙 (N)。也就是「阻尼力」，是「結構阻尼係數」𝒉
和油壓缸移動的位移 𝒊𝒙 ，的乘積。要注意的是：𝒊 =√(−𝟏)，複數(complex number)，因為，有𝒊 =√(−𝟏)的效應，某種程度也是和速度響應有關連性。
3. 系統的「模態參數」(modal parameter)，有兩個：(1) 𝝎𝒏：「無阻尼自然頻率」(undamped natural
frequency)，其定義：𝝎𝒏=√(𝒌/𝒎)
(rad/s)。(2)
𝜼：「散失因子」、「損耗因數」(loss factor)，其定義：𝜼=𝒉/𝒌。
其次，看主題的另一個關鍵詞：「自然頻率」(natural frequency)，以SDOF單自由度系統來說，有兩個重要名詞：
1. 「無阻尼自然頻率」(undamped natural frequency)：𝝎𝒏 =√(𝒌/𝒎)
(rad/s)。
2. 「阻尼自然頻率」(damped natural frequency)：𝝎𝒅 = 𝝎𝒏 √(𝟏−𝝃^𝟐 )。須瞭解，只有在「次阻尼」(under damped)狀態：0
< 𝝃
< 1。才會有
𝝎𝒅 的效應。如圖示的具衰減效應之單頻率時間波形，其振盪週期，理論上是和 𝝎𝒅 相關。
已知，一般典型的鋼鐵材料，其
𝝃「阻尼比」(damping ratio)，大約是：𝝃
≈ 0.01~0.05。如果是如橡膠的高阻尼材料，大約是：𝝃 ≈ 0.1。
將比較大的值
𝝃 ≈ 0.1，帶入推算
𝝎𝒅，可以發現：𝝎𝒅 ≈ 𝝎𝒏，兩者幾乎是相等。所以，圖示時間波形的振盪週期對應的頻率，也是 𝝎𝒅 ≈ 𝝎𝒏 =√(𝒌/𝒎)。
因此，雖然有
𝝎𝒅 和 𝝎𝒏 之別，但是，在實務上，可以忽略此差異，所以，一般只會慣稱：「自然頻率」(natural frequency)。所以，從時間域的響應來看，「阻尼效應」(damping effect)對「自然頻率」(natural frequency)是沒有影響的。
另外的角度，就是從頻率域的頻率響應函數(frequency response function, FRF) = 𝑯(𝑟)來看，圖片右上呈現在不同 𝝃「阻尼比」(damping ratio)、以及不同 𝜼「散失因子」(loss factor)，「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)以及「結構阻尼模型」(structural damping model)的FRF之振幅
|𝑯(𝑟)| 比較，討論如下：
1. 實務上，都認定在 |𝑯(𝑟)| 的峰值(peak)，就是結構的「自然頻率」(natural frequency)。
2. 如圖示，在「結構阻尼模型」(structural damping model)，Peak @ 𝒓=𝟏，其中，𝒓為頻率比，定義：𝒓=𝝎/𝝎𝒏。所以，|𝑯(𝑟)| 的峰值(peak)，確實就是結構的「自然頻率」(natural frequency)。
3. 如圖示，在，「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)，Peak @ 𝒓=√(𝟏−𝟐𝝃^𝟐 )，似乎，就不是 𝒓=𝟏。不過，如前述，因為實務上的
𝝃「阻尼比」(damping ratio)都很小，以 𝝃
≈ 0.1為例，仍然是：Peak @ 𝒓≈𝟏。所以，|𝑯(𝑟)| 的峰值(peak)，確實就是結構的「自然頻率」(natural frequency)。
所以，從頻率域的FRF來看，「阻尼效應」(damping effect)對「自然頻率」(natural frequency)是沒有影響的。
在此，再回顧一下
𝝃「阻尼比」(damping ratio)以及 𝜼「散失因子」(loss factor)之間的重要關係：𝜼 = 𝟐 𝝃。參閱圖片右邊中間圖示，可知：在 𝝃=0.1，𝜼=0.2，也就是 𝜼 = 𝟐 𝝃：兩個阻尼模型的FRF曲線，幾乎重合，代表系統的響應特性幾乎相同。
所以，在低「阻尼效應」(damping effect)，「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)和「結構阻尼模型」(structural damping model)，兩者的物理現象是相似的。因此，實務上，會認定 𝜼 = 𝟐 𝝃 是合理的推論。
這個單元在討論：「阻尼效應」(damping effect)對「自然頻率」(natural frequency)有影響嗎？
1. 對「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)：「阻尼效應」(damping effect)對「自然頻率」(natural frequency)有些微影響，但是，阻尼比 𝝃 <
0.1 時，因為，𝝎𝒅 ≈ 𝝎𝒏，所以，實務上，沒有影響。
2. 對「結構阻尼模型」(structural damping model)：「阻尼效應」(damping effect)對「自然頻率」(natural frequency)，也沒有影響。
綜合這個單元的討論，總結如下：
1. 常見且有實務應用的「阻尼模型」(damping model)，有兩種：(1) 「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)。(2)「結構阻尼模型」(structural damping model)，也可稱為「遲滯阻尼模型」(hysteretic damping model)。
2. 最常見的阻尼特性，是「次阻尼」(under damped)狀態：0
< 𝝃
< 1。就會有具衰減效應之單頻率時間波形，其振盪週期，理論上是和 𝝎𝒅 = 𝝎𝒏 √(𝟏−𝝃^𝟐 ) 相關。
3. 而，實務上，材料的
𝝃「阻尼比」(damping ratio)，相當小。如鋼鐵材料，大約是：𝝃
≈ 0.01~0.05。如高阻尼的橡膠材料，大約是：𝝃 ≈ 0.1。可以發現：𝝎𝒅 ≈ 𝝎𝒏，兩者幾乎是相等。所以，從時間域的時間波形之振盪週期對應的頻率來說，也是 𝝎𝒅 ≈ 𝝎𝒏 =√(𝒌/𝒎)。所以，「阻尼效應」(damping effect)對「自然頻率」(natural frequency)是沒有影響的。
4. 從頻率域的頻率響應函數(frequency response function, FRF) = 𝑯(𝑟)來看，由於實務應用的材料 𝝃「阻尼比」(damping ratio)，相當小，所以，FRF =|𝑯(𝑟)| 的峰值(peak)，確實就是結構的「自然頻率」(natural frequency)，不受到阻尼的影響。
5. 結論：不論是「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)或是「結構阻尼模型」(structural damping model)，「阻尼效應」(damping effect)的大小不同，對「自然頻率」(natural frequency)是沒有影響的。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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