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《振動噪音科普專欄》SDOF系統之黏滯阻尼和庫倫阻尼的自由振動響應,有甚麼差異?

 

這個單元要來探討的主題是:SDOF系統之黏滯阻尼(viscous Damping)庫倫阻尼(Coulomb Damping)的自由振動響應,有甚麼差異?這是庫倫阻尼」系列的第3篇。

 

首先,針對這個單元主題的關鍵詞,依序說明:

 

1.      SDOF系統=單自由度(single degree of freedom, SDOF)系統:系統的參數包括:質塊的質量 𝒎和彈簧的彈簧常數𝒌

2.      黏滯阻尼(viscous Damping):參閱圖示黏滯阻尼」系統的示意圖,除了𝒎𝒌之外,還有𝒄是「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)。其阻尼力(damping force) 𝑭𝒄(𝒕)= 𝒄𝒗(𝒕)是和黏滯阻尼係數𝒄以及速度𝒗(𝒕)成正比。

3.      庫倫阻尼(Coulomb Damping):參閱圖示庫倫阻尼」系統的示意圖,質塊𝒎 和地面有滑動的接觸,質塊和地面之間,會有「摩擦係數(Friction coefficient) 𝝁。和「黏滯阻尼」系統的示意圖比較,差異在質塊𝒎 和地面是沒有「摩擦」的滑動接觸,所以,𝝁 = 0

4.      自由振動(free vibration):當外力 𝒇(𝒕)=0,也就是沒有外力作用,稱之為自由振動。

5.      響應(response):有興趣的系統響應,如質塊的位移𝒙(𝒕)、速度𝒗(𝒕)、加速度𝒂(𝒕)

 

對於「黏滯阻尼」的SDOF系統,其運動方程式(Equation of Motion, EOM)𝒎𝒂+𝒄𝒗+𝒌𝒙=𝒇(𝒕),由於運動方程式EOM是二階的常微分方程式,所以,需要兩個「初始條件(initial condition, IC),分別是初始位移𝒙𝟎及「初始速度𝒗𝟎。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以𝒙𝒗𝒂,代表位移速度加速度。】

 

當沒有外力作用,𝒇(𝒕)=0質塊會有振動響應,主要是有兩個「初始條件」的效應,就是「初始位移𝒙𝟎及「初始速度𝒗𝟎

 

得到了系統的運動方程式EOM對系統進行模態分析(modal analysis),可以求得結構的「模態參數(modal parameters)。在此單自由度系統的「模態參數」為:

 

1.      𝒇𝒏=𝟏/𝟐𝝅 (𝒌/𝒎):「自然頻率(natural frequency),單位為 Hz

2.      𝝎𝒏=𝟐𝝅𝒇𝒏:也是「自然頻率(natural frequency),但是,單位為 rad/sec

3.      𝝎𝒅=𝝎𝒏 (𝟏𝝃^𝟐 ):稱為「阻尼自然頻率(damped natural frequency),單位為 rad/sec

4.      𝝃=𝒄/C𝒄為「阻尼比(damping ratio),無因次單位。其中,C𝒄=2*(mk)^0.5=2mωn臨界黏滯阻尼係數(critically viscous damping coefficient),單位為 N-s/m

 

以上資訊,讀者可參考先前單元:#151「外力激振」的「單自由度系統」之振動分析】。

 

對於「庫倫阻尼」的SDOF系統,其運動方程式(Equation of Motion, EOM)的通式:𝒎𝒂+𝒄𝒗+𝒌𝒙=𝒇(𝒕)+𝑭𝒔(𝒕),和「黏滯阻尼」的SDOF系統之差異,主要是「摩擦力(frictional force) 𝑭𝒔(𝒕),參閱圖示的EOM,說明如下:

 

1.          當速度為正值 𝒗 >𝟎𝑭𝒔(𝒕)= 𝝁𝒎𝒈

2.          當速度為負值 𝒗 <𝟎𝑭𝒔(𝒕)= 𝝁𝒎𝒈

3.          當速度為零 𝒗 =𝟎𝑭𝒔(𝒕)= 0

 

所以,對於「庫倫阻尼」的SDOF系統,阻尼效應有兩種:(1)黏滯阻尼」的「黏滯阻尼係數𝒄 效應,(2)庫倫阻尼」的「摩擦係數𝝁 效應。

 

接下來,以實際的數值分析案例作說明,設定:𝒎=1 (kg)𝒌=39.48 (N/m),則自然頻率 𝒇𝒏= 1 (Hz)。令𝒇(𝒕)=0𝒙𝟎 = 1 (m)𝒗𝟎=𝟎 (m/s),所以是自由振動狀態。分別探討(1)單獨有黏滯阻尼係數𝒄 效應,(2)單獨有「庫倫阻尼」的「摩擦係數𝝁 效應,以及(3)兩種阻尼都有時之自由振動響應,說明如下:

 

1.      𝒄=2 (N-s/m)𝝁=𝟎:也就是單獨的黏滯阻尼」,其自由振動狀態下的位移響應𝒙(𝒕)如圖示,呈現衰減現象。在「次阻尼」狀態:0<ξ<1,其系統位移響應,可寫成:𝒙(𝒕)=Xe^(-σt) cos(𝝎𝒅 t-φ),各個參數的表示式,可參閱圖示。其中,𝝈=𝝃𝝎𝒏=𝝃2𝝅𝒇𝒏是衰減率(decay rate)黏滯阻尼」的衰減現象是「對數衰減(exponential decay)。值得注意的是,質塊的振盪頻率是「阻尼自然頻率𝝎𝒅

2.      𝒄=0 (N-s/m)𝝁=𝟎.2:也就是單獨的庫倫阻尼」,其自由振動狀態下的位移響應𝒙(𝒕)如圖示,也是呈現衰減現象。觀察其系統響應:𝒙(𝒕)=(𝒙𝟎𝒓𝝁𝑵/𝒌)𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒏 𝒕)+𝝁𝑵/𝒌,每一個振盪的衰減是4𝝁𝑵/𝒌8𝝁𝑵/𝒌12𝝁𝑵/𝒌16𝝁𝑵/𝒌,是直線式的衰減,不同於「黏滯阻尼」是「對數衰減」。而其質塊的振盪頻率是「自然頻率𝝎𝒏

3.      𝒄=2 (N-s/m)𝝁=𝟎.2:也就是黏滯阻尼」和「庫倫阻尼」兩種阻尼效應都有,參閱圖示的位移響應𝒙(𝒕),只有一個波動,明顯地相較於單獨的「黏滯阻尼」或「庫倫阻尼」,有更大的衰減現象。

 

針對這個主題的重點,SDOF系統之黏滯阻尼庫倫阻尼的自由振動響應,有甚麼差異?綜合說明兩者之間的差異:

 

1.      衰減率單獨的黏滯阻尼」,其衰減現象是「對數衰減」,衰減率是𝝈=𝝃𝝎𝒏=𝝃2𝝅𝒇𝒏。而單獨的庫倫阻尼」,其衰減現象是「直線衰減」,衰減率是每一個波動有4𝝁𝑵/𝒌 的衰減量

2.      振盪頻率單獨的黏滯阻尼」,其振盪頻率是「阻尼自然頻率𝝎𝒅。而單獨的庫倫阻尼」,其振盪頻率是「自然頻率𝝎𝒏。不過,實務上的「阻尼比𝝃都相當小,而𝝎𝒅=𝝎𝒏 (𝟏𝝃^𝟐 ),所以,兩個振盪頻率會很相近,也就是𝝎𝒅~=𝝎𝒏

3.      衰減效應來源:「黏滯阻尼」的衰減效應來自「黏滯阻尼係數𝒄阻尼力𝑭𝒄(𝒕)= 𝒄𝒗。而「庫倫阻尼」是「摩擦係數𝝁所引發的摩擦力(frictional force) 𝑭𝒔(𝒕)

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2022.09.02

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