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《振動噪音科普專欄》甚麼是時頻圖?



這個單元來看的主題:「甚麼是時頻圖?」,其中,「時頻圖」,也可以說是「時頻譜」,就是可以同時觀察「時間域」和「頻譜域」信號特徵的圖示,此圖示可稱為「time-frequency plot」,正式的英文名詞為「spectrogram」。

本單元就來觀察幾種典型信號的「時頻圖」特徵,在討論之前,先自我提問一下:為什麼需要「時頻圖」?「時頻圖」與一般的「頻譜圖」有甚麼不同?讀者可參閱:【加速度頻譜,有幾種?】。如何取得「時頻圖」呢?又取得「時頻圖」能夠觀察到甚麼現象及觀察的重點呢?了解「時頻圖」有甚麼用途?以及實務的應用呢?

參考圖示,左上角第一個圖示是「單一頻率正弦波」的「時頻圖」,此「時間域波形信號」p(t),是頻率f=200Hz的簡諧波,持續約1.2秒。對此p(t)信號進行「短時傅立葉轉換(short time Fourier transform, STFT),可以求得其「時頻函數P(t, f)STFT的運算原理再另闢單元討論。

參閱圖示「單一頻率f=200Hz」的「時頻圖」,由影片可聽到此信號為200Hz的聲音,說明其「時頻圖」特性如下:

1.      時間軸:在水平軸向,此時間軸和「時頻圖」上方的「時間域信號(time waveform),是相互對應的時間軸。
2.      頻率軸:是垂直軸向,此頻率軸的最高有效頻率(Nyquist frequency) fnyq,係由量測時間域信號的取樣頻率(sampling frequency) fs所決定,fnyq=fs/2。讀者可參閱:【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)】。
3.      「時頻函數」P(t,f):若時間t的水平軸為x方向,頻率f的垂直軸為y方向,則P(t,f)時頻函數」就是z方向的量值,圖示中的「時頻圖」是以「等高線圖(contour plot)方式呈現,圖示中的紅色區域是量值較大,藍色則是量值較小。在頻率f=200Hz,隨著時間軸,有一條「連續的紅色線條」,表示隨著時間變化,一直都有200Hz的頻率存在。這樣說來,也不意外,因為這就是一個連續的200Hz頻率的信號。

參閱圖示「兩個單頻率f1=200Hzf2=300Hz」的「時頻圖」,可以觀察垂直軸的頻率,在f=200Hz以及f=300Hz,隨著水平軸向的時間變化,有兩條紅色的線條,表示一直都有此兩個頻率的信號,而且,f=200Hzf=300Hz的線條更深紅,代表f1=200Hz信號的「振幅」比f2=300Hz信號的「振幅」要大。「簡諧波」的「振幅」定義,可參閱:【餘弦波(cosine wave)之數學意義、幾何意義、物理意義?】。

再參閱圖示「兩個單頻率f1=200Hzf2=210Hz」的「時間域波形」及「時頻圖」,可以觀察到有「重擊現象(beating phenomenon),也有稱為「拍擊現象」。讀者可參閱:甚麼是重擊現象(beating phenomenon)】,有不同的重擊頻率(beating frequency)之時間域波形介紹。在此單元,看到的則是「時頻圖」的典型「重擊現象」之特徵。

「重擊現象」的原因:主要是有兩個頻率相近的正弦波之合成效應。時間域響應的重擊週期,會依兩個頻率的差值,所得到的重擊頻率之倒數推算之。由圖示,可以知道典型「重擊現象」之「時間域波形」及「時頻圖」的特徵。

再觀察「低轉速到高轉速的聲音」之「時頻圖」,說明如下:

1.      聲音特性:由影片可聽到此信號的對應聲音,大約是由低頻率慢慢升高到高頻率的聽感。
2.      時間域波形特性:由p(t)時間域波形,實在看不出來有甚麼特別的差異,因為都是隨機信號,勉強可說,隨著時間變化,能觀察到有不同的大小變化吧!
3.      時頻圖特性:已知紅色的線條,代表該頻率的振幅大,由圖示可觀察,紅色線條有幾個特徵:(1)紅色線條呈現「向右上斜」,也就是隨著時間變化,頻率逐漸增大。這是因為由轉動機械如馬達,由低轉速、慢慢增加到高轉速,又知道轉速可以轉換得「轉速頻率」【什麼是轉速頻率(rotating speed frequency)】,所以有此「向右上斜」的現象。(2)從水平軸的每一個時間,觀察到垂直軸的頻率特徵有「紅色」的點,其實,就是「轉速頻率」的「倍頻」效應。這也是轉動機械,典型的「轉速倍頻」效應。(3)不隨時間變化的高響應之紅色區域,除了隨時間變化的連續「紅色直線」外,可以觀察到有如同前述「單一頻率」的特徵,也就是一直存在的相同頻率之響應,這種特徵,是不隨轉速變化的系統頻率響應。其實,可以推論就是結構系統的「自然頻率(natural frequency),也有稱為「固有頻率」,確實就是一直存在的結構響應之主要頻率特徵。

接著,再觀察人的聲音」之「時頻圖」,說明如下:

1.      聲音特性:由影片可聽到此信號的對應聲音,是由本人以「哼」的方式,由低頻率慢慢升高到高頻率,在中間有持平約2秒,再快速降低頻率的過程,所錄製起來的聲音。
2.      時間域波形特性:由p(t)時間域波形,一樣也是看不出來有甚麼特別的差異,因為都是隨機信號,勉強可說,隨著時間變化,能觀察到在高頻率聲音時,有相對比較大的量值吧!
3.      時頻圖特性:垂直軸只觀察0~2000Hz的頻率區間。同樣,紅色的線條,代表該頻率的振幅大,由圖示可觀察,最紅的線條在t=0時,約為100Hz,在t=8~10秒之間,持續的最高頻率約200Hz左右,隨後頻率又降下來。所以,「時頻圖」的優點是可以觀察出隨時間變化時,該信號的頻率變動情形。另外,也可觀察出「人的聲音」也呈現出「倍頻音」的效應,就是在「時頻圖」中顯現出「等高線」的特徵。

最後,再觀察人的聲音Do,Re,Mi,Fa,…」之「時頻圖」,說明如下:

1.      聲音特性:由影片可聽到此信號的對應聲音,是由本人以「Do,Re,Mi,Fa,…」的方式,唱出音階的聲音,在此不評論音階的音準是否正確,謹以此聲音來探討「時頻圖」的特徵。
2.      時間域波形特性:由p(t)時間域波形,一樣也是看不出來有甚麼特別的差異,因為都是隨機信號,勉強可說,隨著時間變化,能觀察到高音的音階時,有相對比較大的量值吧!
3.      時頻圖特性:在此「時頻圖」中,垂直軸一樣只觀察0~2000Hz的頻率區間。同樣,紅色的線段,代表該頻率的振幅大,由圖示可觀察,最紅的線段在t=0時,約為100Hz,每一個音階,呈現一條「紅色線段」,隨著音階的升高,「紅色線段」有逐漸往高頻率偏移。此「紅色線段」與前兩個聲音的「紅色連續線條」之差異,是因為唱DoReMi的音階時,是一個時間區間、一一的分段唱出,所以呈現片段連續(piecewise continuous)的「紅色線段」。又,每個音階的聲音都有數個「峰值頻率」,也接近呈現「倍頻音」的效應。最低頻率的第一個頻率音,稱為「基音頻率(fundamental frequency),就是可以辨識的DoReMi的音階頻率,有興趣的讀者可以參閱:【音階標準頻率】。而此「倍頻音」,就是「泛音頻率(overtone frequencies),這就是每個人的聲音的「音色(tone color, timbre),同樣唱出Do,能夠分辨出不同人的聲音,其實,就是「泛音頻率」組成所造成每個人「音色」的差異。

為什麼需要「時頻圖」?「時頻圖」與一般的「頻譜圖」有甚麼不同?「時頻圖」能夠觀察到甚麼現象觀察的重點呢?「時頻圖」有甚麼用途?以及實務的應用呢?綜合說明如下:

1.      「時頻圖」特徵:最主要可以觀察出隨時間變化的頻譜特性,也就是可以得知,信號在不同時間下的頻譜整體分布狀態,因此,很適合觀察如轉速變化之運轉機器的聲音與振動。
2.      「時頻圖」不同於一般的「頻譜」:如「傅立葉頻譜」是一個時間區間的頻譜、或是「自身功率頻譜」可以是一段時間區間的平均頻譜,比較適合「穩態(steady state)響應狀態的解析,讀者可參閱:【加速度頻譜,有幾種?】。「時頻圖」可以如本單元呈現的「等高線圖」模式,觀察整體的時間與頻率分布狀態,比較適合「暫態(transient state)之響應解析。
3.      「時頻分析」(spectrogram analysis):「時頻分析」是對信號解析的一種方法,除了本單元應用在聲音的解析,同樣可以應到振動響應及其他物理量的解析。對於轉動機械,由靜止到額定轉速啟動時的「run-up test」,以及關機時的「coast-down test」,是可以觀察與區別出「轉速頻率」或結構「自然頻率」的效應。

這個單元主要在介紹「時頻圖」是甚麼?由不同的「時間域信號」說明其在「時頻圖」的特性與特徵,包括:單一頻率簡諧波、兩個單頻率簡諧波的合成音、重擊音、低轉速到高轉速連續變化音、人由低音到高音「哼」的聲音、以及唱DoReMi系列音階的聲音。希望由本單元的探討,讀者能夠進一步了解時頻圖」的現象解讀。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2019.05.08








《振動噪音科普專欄》對一個信號進行頻譜分析的原理為何?


在前一個單元:【加速度頻譜,有幾種?】,以加速度a(t)的信號為例,探討了單一頻率正弦波」的「加速度」,經過「FFT」及「信號處理」,可以得到三種頻譜」以及「位準」的「頻譜分析」流程,以及對應的頻譜圖示。

同時,由處理程序方塊圖的角度,介紹了4個處理程序的方塊圖,包括:FFTPSD1/3 octave、及dB。這4個處理程序的數學運算如何進行?原理為何呢?如果,想要編寫信號處理分析程式,需要了解甚麼呢?

在前一個單元:【對一個信號進行頻譜分析,可以得到甚麼?】,不管量測到的是外力f(t)、加速度a(t)、速度v(t)、位移x(t)、聲音壓力p(t)的「時間域波形」信號,都可以透過「頻譜分析」及「信號處理」,取得三種「頻譜」以及一個「位準」的數值,包括:

1.          Fourier spectrum傅立葉頻譜
2.          Auto power spectrum自身功率頻譜
3.          One-third octave band spectrum三分之一八音頻帶頻譜
4.          Level位準

這個單元以加速度a(t)的信號為例,針對進行頻譜分析」及「信號處理」,取得三種「頻譜」以及一個「位準」數值的「工作原理」做討論。首先回顧一下各種加速度(acceleration) 物理量」的相關名詞:

a(t)加速度時間域波形,acceleration time waveform
A(f)加速度傅立葉頻譜,acceleration Fourier spectrum
Gaa(f)加速度自身功率頻譜,acceleration auto power spectrum
Gaa,1/3(fc)加速度三分之一八音頻帶頻譜,acceleration 1/3 octave band spectrum
La加速度位準,acceleration level

知道了這些「物理量」名詞,參閱圖示的信號處理流程圖,可以知道有4個對應的「信號處理程序方塊圖」,分別說明如下:

1.          FFT operation,快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)FFT是一種數位信號的數學運算程序,其數學理論基礎是「傅立葉轉換(Fourier transform, FT)簡單的說:FT是將一個時間域的信號,轉換到頻率域,以得到傅立葉頻譜(Fourier spectrum)。數學上,傅立葉轉換的定義是積分,而且,積分的下限到上限,是負無窮大到正無窮大,然而實務上,只能取有限時間區間的信號,而且也經過「類比與數位信號的轉換」【甚麼是類比數位轉換器(A/D Converter)】,因此實際上是以「離散傅立葉轉換DFT (discrete Fourier transform)進行FT。又,由於DFT的運算數量龐大,因此,發展出快速傅立葉轉換FFT的運算方法,可以加快對信號進行頻譜分析」的速度。有關FTDFTFFT的關係及理論基礎,再另闢單元討論。在此,由【甚麼是頻譜分析?】:頻譜分析(spectral analysis),主要是應用「快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)的數學運算,將時間域的信號,a(t),轉換到頻率域,得到此信號的「傅立葉頻譜(Fourier spectrum)A(f),以對信號作進一步的解析觀察與應用。
2.          PSD operation,功率頻譜密度(power spectral density, PSD)函數之運算:由「傅立葉頻譜A(f),取其共軛複數(complex conjugate) A*(f),可以推算得到「自身功率頻譜Gaa(f)=A*(f)A(f)/Δf,其中,Δf為頻率解析度,所以,Gaa(f)的單位為g^2/Hz。讀者可參閱:【傅立葉頻譜與自身功率頻譜有甚麼不同?】。在PSD函數運算中,是可以取平均的運算,特別是對於隨機信號,可以由長時間的量測信號,對每一個time frame,取得各別的「傅立葉頻譜」,在PSD運算時,再對每一個time frame的「傅立葉頻譜」在PSD的運算處理後,取平均,平均化的處理可以消除雜訊(random noise)的影響,因此,可以取得隨機信號較好之頻率特徵。補充資訊:一個time frame為「時間區間」,或稱為「總取樣時間」,可參閱:甚麼是取樣頻率(sampling frequency)】。
3.          1/3 octave operation,三分之一八音頻帶頻譜之處理:「三分之一八音頻帶頻譜」符號表示為Gaa,1/3(fc),係由自身功率頻譜Gaa(f)運算處理而取得。要進行1/3 octave的信號處理,必須先有Gaa(f)自身功率頻譜」,並將Gaa(f)水平座標以對數座標呈現,參閱圖示,針對每一個「中心頻率」的「下限頻率」及「上限頻率」範圍,加總該頻帶的加速度總量,相當於如圖示的積分運算,再開根號,可以取得該「中心頻率」頻帶的Arms(fc) 加速度平方平均根值(root mean square value),單位為g。接著,再將Arms(fc)轉換為「加速度位準La(fc) = 20*Log10 ( Arms(fc) / Aref),其中,Aref=1 μm/s^2,是根據ISO 1683標準的「加速度參考值」,所以,La(fc) 的單位為dB re 1 μm/s^2La(fc)的物理意義是在此fc中心頻率」頻帶的加速度總量大小,也可以以Gaa,1/3(fc)表示之。在此須注意:Arms(fc)La(fc)、及Gaa,1/3(fc),三者的物理意義是相同的,需要區別的是符號與單位的差異。「三分之一八音頻帶頻譜」的變數符號寫成Gaa,1/3(fc),其中,fc就是「中心頻率」,代表a(t)信號在此「中心頻率」頻帶的總量大小。當表示為La(fc),已經轉換為dB位準」的單位。而,Arms(fc)也是此「中心頻率」頻帶的總量大小,單位是加速度的平方平均根值。有關1/3 octave band的「中心頻率」、「下限頻率」及「上限頻率」定義,可參考先前單元【甚麼是三分之一八音頻帶(one third octave band)】。
4.          dB calculation,位準(Level)計算:由Gaa,1/3(fc),得到每一個中心頻率頻帶的加速度位準dB,也可表示為La(fc),由圖示Σ方程式,累加所有中心頻率的加速度位準,即可得到此加速度信號的總量「加速度位準」La,單位是dB re 1 μm/s^2。在此須注意:此總量的加速度位準(overall acceleration level)dB,也可轉換為對應的Arms,是該加速度信號的「平方平均根值」。諸多的振動管制標準,多以「加速度總量」作為評估依據,也就是LaArms,在引用振動管制標準的比較時,需要注意物理量、單位及大小的定義,以及所規範的頻率範圍。除了以「加速度」總量作為評估依據外,也可採用「速度」或「位移」,本單元介紹的「FFT頻譜分析」及「信號處理」流程之原理是相同的。其他的物理量dB位準」計算方式,可參考【甚麼是dB】單元。

本單元以加速度a(t)的信號為例,由信號處理程序方塊圖的角度,介紹了4個信號處理程序的方塊圖,包括:FFTPSD1/3 octave、及dB的工作原理及數學運算方式。希望由本單元的探討,讀者能夠進一步了解取得加速度頻譜」的三種「頻譜」:A(f)Gaa(f)Gaa,1/3(fc)以及「位準La的基礎原理。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2019.04.23