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《振動噪音科普專欄》如何解讀平面鑼的振動模態?

這個單元要來探討的主題是:如何解讀平面鑼的振動模態(vibration modes)

 

首先,參閱1中間上方的平面鑼結構,是一個採用機器製作的平面鑼,是個圓形平板的鑼,在圓上有凸緣環的構造。

 

本單元會以有限元素分析(finite element analysis, FEA)方法,可建構如1右側圖示的平面鑼有限元素模型」,觀察此機器製作的平面鑼,是一個薄殼結構(thin wall structure),從背後看,可以看出凸緣環的構造形態。

 

建構了平面鑼有限元素模型」,並據以進行「模態分析(modal analysis),即可求得平面鑼的理論「模態參數(modal parameters),包括:(1) 𝒇𝒓自然頻率(natural frequencies)(2) 𝝓𝒓模態振型(mode shapes)。可以知道結構的「振動模態」之頻率範圍,以及對應的「模態振型」之物理意義。

 

針對平面鑼的振動模態」,每一個「振動模態」都有3個「模態參數」,就是「自然頻率」,及其對應的「模態振型」及「模態阻尼比(modal damping ratio)。其中,「模態振型」之物理意義,可以從兩個角度看:

 

1.          Rigid Body Mode剛體模態:因為,此平面鑼會以懸吊方式敲擊,所以是「自由邊界(free boundary)的結構,因此會有「剛體模態Rigid Body Mode,其「自然頻率」會是零。又可以區別出,3平移(Translational)剛體模態、以及3旋轉(Rotational)剛體模態。1左下方顯示的是「Z-方向平移模態(Z-Translational Mode)

2.          Elastic Body Mode彈性體模態:因為,此平面鑼是個彈性體(elastic body),所以,會有「彈性體模態Elastic Body Mode。由於平面鑼有凸緣環的結構特徵,所以會有兩種模態特徵,包括:(1) Global Mode整體結構模態(2) Local Mode局部結構模態

 

(1) Global Mode整體結構模態,參閱1左下方,其中,包含:(1-1) Ring Mode環模態,顯示的是(𝜽=𝟐)的「環模態Ring Mode,主要是來自凸緣環結構的效應。以及(1-2) Free Plate Mode自由邊界圓板模態,是整體平面鑼結構在「自由邊界」的模態,圖示顯示的是(𝜽=0)(𝒓=𝟏)以及(𝒓=2)之「自由邊界圓板模態Free Plate Mode

 

(2) Local Mode局部結構模態,因為此平面鑼有凸緣環結構的效應,使得上表面的鑼面,形成相當於四週固定的圓形平板,因此,其物理意義上是Fixed Plate Mode固定邊界圓板模態。圖示顯示的是(𝜽=1)的「固定邊界圓板模態Fixed Plate Mode

 

另外,還可以觀察「振動模態」會有Axisymmetric Mode軸對稱模態,例如:(𝜽=𝟐)的「環模態Ring Mode,這兩個軸對稱模態的「自然頻率」相同,而「模態振型」物理意義相同,只是「節線(nodal line)有角度的相位差。在(𝜽=1)的「固定邊界圓板模態Fixed Plate Mode,也有同樣的類似特徵。

 

接著,更詳細來看此平面鑼的「振動模態特徵,特別是觀察瞭解結構的模態振型」之物理意義。

 

參閱2,是平面鑼的「剛體模態Rigid Body Mode,上方3個動畫分別是「X-方向平移模態(X-Translational Mode)、「Y-方向平移模態(Y-Translational Mode)、「Z-方向平移模態(Z-Translational Mode)。下方3個動畫分別是「X-方向旋轉模態(X-Rotational Mode)、「Y-方向旋轉模態(Y-Rotational Mode)、「Z-方向旋轉模態(Z-Rotational Mode)

 

為什麼會有6個「剛體模態Rigid Body Mode呢?一個質點,都會有6個「自由度(degree-of-freedom, DOF),又因為此平面鑼會以懸吊方式敲擊,所以是「自由邊界(free boundary)的結構,所以會有6個「剛體模態Rigid Body Mode,而且,其「自然頻率」都會是零。

 

其次,參閱3,來觀察此平面鑼的「彈性體模態Elastic Body Mode。討論如下:

 

1.          觀察(1) Global Mode整體結構模態,其中的「環模態Ring Mode,如3的左側動畫,會有此「環模態Ring Mode,是因為有凸緣環結構的效應。可以區別出有(𝜽=𝟐)(𝜽=3)(𝜽=4)(𝜽=5)(𝜽=6)(𝜽=7),其中,(𝜽=𝟐)是有兩條「節線(nodal line),依此類推。同時,可觀察「節線」越多,模態數越大,「自然頻率」也越大。

2.          觀察(1) Global Mode整體結構模態,其中的「自由邊界圓板模態Free Plate Mode,如3的中間動畫,會有此「自由邊界圓板模態Free Plate Mode,是因為此平面鑼會以懸吊方式敲擊,所以是「自由邊界(free boundary)的結構,因此可區別出有(𝜽=0)(𝒓=𝟏)(𝒓=2) 以及(𝒓=3)之「自由邊界圓板模態Free Plate Mode。其中,(𝒓=𝟏)表示在半徑方向,有一條「節線(nodal line),依此類推。

3.          觀察(2) Local Mode局部結構模態,如3的右側動畫,因為此平面鑼有凸緣環結構的效應,使得上表面的鑼面,形成相當於四週固定的圓形平板,因此,其物理意義上是Fixed Plate Mode固定邊界圓板模態。在垂直方向,可區別(𝒓=0)(𝒓=1) 以及(𝒓=2)的模態。而水平方向,可區別出(𝜽=1)(𝜽=𝟐)(𝜽=3)(𝜽=4)的模態。其中的數字,代表的是「節線(nodal line)數量,從圖示可以明確解讀(𝒓, 𝜽)的物理意義。

 

3的所有「彈性體模態Elastic Body Mode,可以觀察模態數的出現順序,現象特徵說明如下:

 

1.          模態數編號:通常由最小的「自然頻率」,由小排到大,順序編號。

2.          彈性體模態Elastic Body Mode的最低模態數:會從第7個開始,因為有6個「剛體模態Rigid Body Mode

3.          模態數的出現順序:依照前述的3種平面鑼的「振動模態特徵,模態數的順序,顯現是跳躍式的現象。

4.          模態數有無窮多個:一個彈性體結構,理論上,會有無窮多個「振動模態」,不過,通常低頻率的模態,比較重要,因為對振動或聲音的響應,影響比較大。

5.          模態物理意義的編號:如(𝒓=0)(𝒓=1)(𝒓=2)的模態數,以及 (𝜽=1)(𝜽=𝟐)(𝜽=3)(𝜽=4)的模態數,都可以無限的擴充,其「模態振型」之物理意義,也是依此類推。

 

另外,補充一下敲鑼位置的影響,一般敲鑼會是敲擊中央位置,除了(1) Global Mode整體結構模態,其中的「自由邊界圓板模態Free Plate Mode,如3的中間動畫,在中央位置,不是「節點(nodal point)外,所以,會激發此類型模態,進而發出聲音頻率。而,其他兩個類型的模態,在中央位置,都剛好是「節點」,所以,敲擊中央位置時,不會發出聲音頻率。

又,如果是敲擊平面鑼的邊緣位置,那麼所有的「振動模態」就都會被激發,進而發出聲音頻率。

 

最後,參閱4,是平面鑼的「軸對稱模態Axisymmetric Mode,主要的3種類型的「振動模態」,會有「軸對稱模態Axisymmetric Mode的是:

 

1.          (1) Global Mode整體結構模態,其中的「環模態Ring Mode:如4的左側動畫,「環模態Ring Mode(𝜽=𝟐)(𝜽=3)(𝜽=4),兩兩的「軸對稱模態Axisymmetric Mode,「自然頻率」相同,而「模態振型」物理意義相同,只是「節線(nodal line)有某個角度的相位差。

2.          (2) Local Mode局部結構模態:如4的右側動畫,以(𝒓=0)(𝒓=1)(𝜽=1)(𝜽=𝟐)(𝜽=3)(𝜽=4)的模態為例,可以看到典型的「軸對稱模態Axisymmetric Mode特徵:「自然頻率」相同,而「模態振型」物理意義相同,只是「節線(nodal line)有某個角度的相位差。

 

參閱4的中間動畫,是(1) Global Mode整體結構模態(1-2) Free Plate Mode自由邊界圓板模態,是整體平面鑼結構在「自由邊界」的模態,因為(𝜽=0),所以,沒有「軸對稱模態Axisymmetric Mode,這種模態也可稱之為「徑向模態Radial Mode

 

最後,回顧這個單元的討論,主要在探討:如何解讀平面鑼的振動模態(vibration modes)?重點摘錄如下:

 

1.          Rigid Body Mode剛體模態:可以區別出,3平移(Translational)剛體模態、以及3旋轉(Rotational)剛體模態。

2.          Elastic Body Mode彈性體模態:有兩種模態特徵,包括:(1) Global Mode整體結構模態(2) Local Mode局部結構模態

3.          (1) Global Mode整體結構模態:包含:(1-1) Ring Mode環模態,以及(1-2) Free Plate Mode自由邊界圓板模態

4.          (2) Local Mode局部結構模態:其物理意義上是Fixed Plate Mode固定邊界圓板模態

5.          振動模態」會有Axisymmetric Mode軸對稱模態:包含:(1-1) Ring Mode環模態,以及(2) Local Mode局部結構模態 Fixed Plate Mode固定邊界圓板模態

6.          (1) Global Mode整體結構模態(1-2) Free Plate Mode自由邊界圓板模態:是沒有「軸對稱模態Axisymmetric Mode,也可稱之為「徑向模態Radial Mode

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2022.06.14


1、如何解讀平面鑼的「振動模態」(vibration modes)

2、平面鑼的「剛體模態」Rigid Body Mode

3、平面鑼的「彈性體模態」Elastic Body Mode

4、平面鑼的「軸對稱模態」Axisymmetric Mode