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《振動噪音科普專欄》庫倫阻尼SDOF系統自由振動之暫態響應的頻譜,有甚麼特徵?

 

這個單元要來探討的主題是:庫倫阻尼(Coulomb Damping) SDOF系統自由振動之暫態響應的頻譜,有甚麼特徵?這是庫倫阻尼」系列的第5篇。

 

參閱1,是前一個單元:#284庫倫阻尼SDOF系統之暫態響應分析,可以得到甚麼結果?】,主要的分析結果,回顧說明如下:

 

1.      瞭解了「庫倫阻尼(Coulomb Damping) SDOF系統:系統參數包括:𝒎=質量 (kg)𝒄=黏滯阻尼係數 (N / m/s)𝒌=彈簧常數 (N/m)𝝁=摩擦係數。

2.      推導得到「庫倫阻尼SDOF系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM):通式如下:𝒎𝒂+𝒄𝒗+𝒌𝒙=𝒇(𝒕)+𝑭𝒔(𝒕)。其中,𝑭𝒔(𝒕)=摩擦力」。

3.      進行了「模態分析(modal analysis),可以求得結構的「模態參數(modal parameters)𝒇𝒏=𝟏/𝟐𝝅 (𝒌/𝒎):「自然頻率(natural frequency),單位為 Hz𝝎𝒏=𝟐𝝅𝒇𝒏:也是「自然頻率(natural frequency),但是,單位為 rad/sec𝝎𝒅=𝝎𝒏 (𝟏𝝃^𝟐 ):稱為「阻尼自然頻率(damped natural frequency),單位為 rad/sec𝝃=𝒄/C𝒄為「阻尼比(damping ratio),無因次單位。其中,C𝒄=2*(mk)^0.5=2mωn臨界黏滯阻尼係數(critically viscous damping coefficient),單位為 N-s/m

4.      探討了實際的數值分析案例作說明,設定:𝒎=1 (kg)𝒄=0 (N-s/m)𝒌=39.48 (N/m),則自然頻率 𝒇𝒏= 1 (Hz)。令𝒇(𝒕)=0𝒙𝟎 = 1 (m)𝒗𝟎=𝟎 (m/s),而 𝝁=𝟎.2所以是單獨的庫倫阻尼」效應的自由振動狀態。進行了暫態響應分析」,就可以得到系統的時間域響應。

5.      瞭解了質塊的時間波形響應特徵:如位移𝒙(𝒕),速度 𝒗(𝒕),加速度 𝒂(𝒕)

6.      也瞭解了系統的各種外力之時間波形響應特徵:如 𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕) = 𝑭𝒎(𝒕)+𝑭𝒄(𝒕)+𝑭𝒌(𝒕),分別是「慣性力(inertial force) 𝑭𝒎(𝒕)=𝒎𝒂(𝒕)阻尼力(damping force) 𝑭𝒄(𝒕)= 𝒄𝒗(𝒕),「彈簧力(spring force) 𝑭𝒌(𝒕)= 𝒌 𝒙(𝒕),而𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕)3種系統力的合成。另外,「外力(external force) 𝒇(𝒕)和「摩擦力(frictional force) 𝑭𝒔(𝒕),都是有興趣的分析結果。同時,由EOM可以知道, 𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕) = 𝒇(𝒕)+𝑭𝒔(𝒕)

 

由以上回顧,瞭解了「庫倫阻尼SDOF系統的「自由振動(free vibration)之時間波形暫態響應,包括:質塊的時間波形響應、以及系統的各種外力之時間波形響應。這個單元,要進一步分析觀察質塊響應和系統外力的時間波形之「頻譜(spectrum)

 

參閱2,左上方是進行「頻譜(spectrum)ISO系統方塊圖」,說明如下:

 

1.      Input 輸入𝒙(𝒕) 是一個信號的時間波形(time waveform)

2.      System 系統:就是進行FFT快速傅立業轉換(fast Fourier transform)的「頻譜分析(spectral analysis)

3.      Output 輸出𝑿(𝒇) 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜(Fourier spectrum)

 

以上資訊,讀者可參考先前單元:#180FFT系列:如何確認FFT頻譜分析程式的正確性?】。

 

參閱2,第1欄圖示,分別是質塊的時間波形響應特徵:位移𝒙(𝒕),速度 𝒗(𝒕),加速度 𝒂(𝒕),以及摩擦力𝑭𝒔(𝒕)。而第3欄圖示,分別是各種外力的時間波形響應:「彈簧力𝑭𝒌(𝒕),「阻尼力𝑭𝒄(𝒕),「慣性力𝑭𝒎(𝒕),以及「慣性力」、「阻尼力」和「彈簧力」的合成力𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕)

 

接著,對以上所有的時間波形信號,進行FFT頻譜分析」,可以得到對應的「頻譜」,特徵說明如下:

 

1.      位移𝒙(𝒕),速度 𝒗(𝒕),加速度 𝒂(𝒕)的頻譜:如2的第2欄圖示,都呈現出典型的SDOF系統之頻譜特徵,其波峰(peak)出現在 f = 1 (Hz),因為,時間波形的振盪頻率是系統的「自然頻率𝒇𝒏= 1 (Hz),又,因為時間波形有衰減現象,所以,沿著波峰(peak)兩側都有類似洩漏(leakage)現象,這是合理的頻譜特徵。

2.      慣性力」、「阻尼力」和「彈簧力」的頻譜:如2的第4欄圖示,除了「阻尼力」的頻譜為零,因為沒有黏滯阻尼𝒄=0,「慣性力」和「彈簧力」都呈現出典型的SDOF系統之頻譜特徵,其波峰(peak)出現在 f = 1 (Hz),因為「慣性力」及「彈簧力」,和加速度 𝒂(𝒕)及位移𝒙(𝒕),只有質量𝒎和彈簧常數𝒌的比例差異,所以頻譜趨勢特徵完全相同,只有量值的比例差異。

3.      摩擦力𝑭𝒔(𝒕)和「慣性力」、「阻尼力」和「彈簧力」合成力𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕)的頻譜:分別如2的第2欄和第4欄最下方的圖示,由於𝑭𝒔(𝒕) = 𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕),所以兩者的頻譜分佈趨勢和量值會完全相同。又因為,𝑭𝒔(𝒕) 𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕)是週期性、連續性的方波,數學上定義是「奇函數(odd function),所以,其頻譜特徵,會有135的奇數倍的簡諧倍頻(harmonics),也可簡稱諧頻」。數學上,也可以由「傅立業級數(Fourier series)的物理意義來解釋。

 

最後,回顧一下這個單元的討論,主要在分析觀察「庫倫阻尼SDOF系統,在「自由振動(free vibration)狀態的系統時間波形暫態響應,對其進行頻譜分析」可以得到對應的「頻譜(spectrum),並且探討了「頻譜」的特徵,「頻譜」是分析診斷振動問題的重要參考資訊。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2022.09.03


1、庫倫阻尼SDOF系統之暫態響應分析

2、庫倫阻尼SDOF系統自由振動之暫態響應的頻譜,有甚麼特徵?