《振動噪音科普專欄》SDOF簡諧激振系列1:甚麼是簡諧激振harmonic excitation?

 

這個單元要來看的主題是:甚麼是簡諧激振(harmonic excitation)?這個SDOF簡諧激振系列,將以如圖示的「外力激振(force excitation)的「單自由度系統(single degree-of-freedom, SDOF, system)做說明。

 

首先,回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」,參考圖示左上方,是此系統數學模型(mathematical model)示意圖。其中,

 

1.          系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數(spring constant)

2.          輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的兩個「初始條件(initial condition, IC),包括:「初始位移(initial displacement) X0及「初始速度(initial velocity) V0

3.          輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。

 

參考左下方圖示,是ISO系統方塊圖(ISO system block diagram),其中:

 

1.      Input 輸入f(t),為系統的外力,以及兩個「初始條件」的「初始位移X0及「初始速度V0

2.      System 系統mck

3.      Output 輸出x(t)v(t)a(t) 分別為系統質塊的位移、速度及加速度響應。

 

參考中間上方的圖示,是此「單自由度系統」的「運動方程式ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

 

若是對此「單自由度系統」,進行「理論模態分析(theoretical modal analysis, TMA),可以得到兩個「模態參數(modal parameters)在此單自由度系統的「模態參數」為:

 

1.          自然頻率(natural frequency)ωn = 2 π fn=(k/m)^0.5

2.          阻尼比(damping ratio)ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,是「臨界黏滯阻尼係數(critically viscous damping coefficient)

 

所以,由「系統參數」:mck,就可以求得「自然頻率fn以及「阻尼比ξ

 

單自由度系統」的回顧到這裡,再回到本單元的主題:甚麼是簡諧激振(harmonic excitation)?首先,要知道甚麼是簡諧函數(harmonic function),可以有以下三種形式:

 

1.      正弦函數𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕),參閱右邊中間圖示,就是典型的正弦函數之時間波形,可以觀察到,𝑭 就是簡諧外力振幅(harmonic force amplitude),而 𝒇 就是此「簡諧外力」的「激振頻率(excitation frequency)

2.      餘弦函數𝒇(𝒕)=𝑭𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕)=𝑭𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇𝒕),本質上和正弦函數是相同的,只是有90度相位角差。

3.      複數形式的指數函數𝒇(𝒕)=𝑭𝒆^𝒊𝝎𝒕=𝑭[𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕)+𝒊𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)],由尤拉公式(Euler formula)𝒆^𝒊𝝎𝒕 可以解析為:餘弦函數 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) 和正弦函數 𝒊 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕) 的組合。

 

所以,如果外力是以上三種的簡諧函數」,就稱之為「簡諧激振」。

 

接下來,就來觀察「SDOF單自由度系統」受到如右邊圖示正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕) 簡諧激振」時,質塊位移響應特徵。

 

由中間下方的動畫,以及𝒙(𝒕)示意圖,可以觀察到:在初期,𝒙(𝒕)會有漂移運動的不穩定現象,而長時間後,呈現穩定的現象。而 𝒙(𝒕)=𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)+𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕),可以解剖出兩個效應:

 

1.      𝒙_𝐈𝐂 (𝒕):自由振動響應,來自兩個「初始條件(initial condition, IC),「初始位移X0及「初始速度V0的作用。在時間初期,由於「初始位移」以及「初始速度」,使得質塊會有明顯的漂移運動,一段時間後,因為有阻尼的衰減效應,此自由振動響應會消失。

2.      𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕):外力激振響應,係來自系統外力 𝒇(𝒕) 的作用,其中,IRF係指「脈衝響應函數(impulse response function, IRF),其解析理念,再另闢單元討論。在此,當然就是受到的「簡諧外力」激振的效應,會持續的存在。

 

統整一下這個單元的討論:甚麼是簡諧激振(harmonic excitation)

 

1.      簡諧函數」:有三種類型,包括:𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)𝒇(𝒕)=𝑭𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕)、及𝒇(𝒕)=𝑭𝒆^𝒊𝝎𝒕如果,外力是簡諧函數,就稱為簡諧激振」。

2.      SDOF單自由度系統」受到正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕) 簡諧激振」時,質塊位移響應特徵,在初期,會有漂移運動的不穩定現象,而長時間後,呈現穩定的現象。

3.      質塊位移響應特徵,可以解剖出兩個效應:(1) 𝒙_𝐈𝐂 (𝒕):自由振動響應,以及(2) 𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕):外力激振響應。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2021.03.31

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