《振動噪音科普專欄》不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響?


這個單元的主題:【不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響?】,首先,破題的思考:甚麼是「阻尼比」?「阻尼」和「阻尼比」有不同嗎?不同的「阻尼比」為什麼對質塊的振動有影響?又,先前單元的「阻尼比」都是「正值」,會有「負值」的「阻尼比」嗎?那麼「負阻尼比」對質塊的振動影響又是如何呢?

在先前單元:【如何求得彈簧的彈簧常數?】,對圖示「質塊彈簧之實體結構」,進行「數學模型化(mathematical modeling),可以得到對應的「數學模型(mathematical model),包括:「質量m、「黏滯阻尼係數c、「彈簧常數k,可稱為「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,是典型的振動學課程重要單元之一。

又由先前單元:【工程實務上,如何表示阻尼?黏滯阻尼的特性】,最常採用的「黏滯阻尼模型(viscous damping model),也就是圖示的「數學模型」,可以得到其「運動方程式」:ma+cv+kx=f(t)。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

由「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,得到其「運動方程式」,因為是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0

接著,甚麼是「阻尼比」呢?摘錄先前單元:【工程實務上,如何表示阻尼?黏滯阻尼的特性】,「阻尼比」是「黏滯阻尼比」的簡稱,說明如下:

1.      黏滯阻尼比(viscous damping ratio):以ξ代表,定義是:ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc 是「臨界黏滯阻尼係數」如下說明
2.      「臨界黏滯阻尼係數」(critical viscous damping coefficient):以Cc代表,定義可參閱圖示,摘錄如下,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,其中,ωn=(k/m)^0.5,是系統的無阻尼狀態的「自然頻率」。

阻尼」和「阻尼比」有不同嗎?「阻尼(damping),是一個泛用名詞,是一種消耗能量的機制。一般材料本身都有「阻尼效應」。從「微觀」角度來說,可以想像一個材料構件,因為結構體的變形,使得材料分子之間有摩擦,而產生磨擦的能量損失,即為「阻尼效應(damping effect)

有了以上的背景知識,就來探討【不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響?】,參考圖示,將
阻尼比ξ,以數線畫出來,有3個紅色點的標示,分別是:ξ=0ξ=1、及ξ=–1,以下就各種「阻尼比ξ的狀態,令質塊受到「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0的作用,來探討質塊的運動狀態:

1.      ξ=0,無阻尼(undamped):也就是「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,其中的「黏滯阻尼係數c=0。當質塊受到「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0的作用,因為是無阻尼,所以質塊會來回振盪不停,這在現實世界中是不存在的,可以說是一種假設的理想狀態。
2.      0<ξ<1,次阻尼(under-damped):「黏滯阻尼係數c介於0Cc之間,此系統的質塊運動狀態呈現來回振盪的衰減現象,而且,「阻尼比ξ越大,質塊振盪的振幅就衰減越快。
3.      ξ=1,臨界阻尼(critically damped):當「黏滯阻尼係數c=Cc,質塊受到相同「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0的作用,質塊由於受到「初始速度V0作用,質塊會穿越x=0的初始位置,而後質塊振幅急速的衰減,並不會有如「次阻尼」狀態的來回振盪現象,這就是需要定義「臨界阻尼」的原因。
4.      ξ>1,過阻尼(over-damped):如果「黏滯阻尼係數c>Cc,此系統的質塊運動呈現和「臨界阻尼」相似的狀態,質塊由於受到「初始速度V0作用,質塊會穿越x=0的初始位置,而後質塊振幅急速的衰減,同樣不會有如「次阻尼」狀態的來回振盪現象。
5.      ξ<0,負阻尼(negative damping):對於如質塊彈簧的實體結構,彈簧材料都有「正阻尼」的效應,現實世界中,還沒有發現有「負阻尼」的材料,如果,能找到「負阻尼」材料配方,應該會是下一屆諾貝爾得獎候選人。那麼,為什麼會有「負阻尼」呢?若是以「等效系統(equivalent system)來說,「黏滯阻尼係數c就有可能為「負值」,而形成「負阻尼」的效應,如以下討論,將會觀察到質塊的運動會呈現「發散」的「不穩定」現象。
6.      1<ξ<0,負次阻尼(negatively under-damped):也就是「黏滯阻尼係數c介於0–Cc之間,此系統的質塊運動狀態呈現「來回振盪」的「發散」現象,而且,「負阻尼比ξ越小,質塊振盪的振幅就發散越快,這種大振幅振動的發散現象,在實務上是不樂見的,會造成結構系統的破壞。
7.      ξ=1,負臨界阻尼(negatively critical damped):當「黏滯阻尼係數c=–Cc,質塊受到相同「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0的作用,質塊由於受到「初始速度V0作用,質塊會穿越x=0的初始位置,而後質塊振幅急速的發散,並不會有如「負次阻尼」狀態的來回振盪之發散現象。
8.      ξ<1,負過阻尼(negatively over-damped):如果「黏滯阻尼係數c<–Cc,此系統的質塊運動呈現和「負臨界阻尼」相似的狀態,質塊由於受到「初始速度V0作用,質塊會穿越x=0的初始位置,而後質塊振幅急速的發散,同樣不會有如「負次阻尼」狀態的來回振盪之發散現象。

綜合一下以上的討論,是對「阻尼比ξ,劃出一條數線,再歸納討論如下:

1.      ξ=0,無阻尼,為分界點,可以區別出「正阻尼」及「負阻尼」。
2.      正阻尼」效應會使系統的振動響應有衰減的收斂現象。而「負阻尼」效應,會使得系統有發散的不穩定現象。
3.      不管是「正次阻尼」、或是「負次阻尼」,質塊都會有「來回振盪」的現象。在「正次阻尼」時,質塊呈現來回振盪的「衰減收斂」現象;而「負次阻尼」,質塊呈現來回振盪的「發散不穩定」現象。
4.      當「阻尼比ξ大於等於「正臨界阻尼」或小於等於「負臨界阻尼」,質塊就不會有「來回振盪」的現象。

這個單元,主要是探討了「質塊彈簧之實體結構」,以「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」的動態分析,呈現了【不同阻尼比,對質塊的振動有甚麼影響?】。其中,最主要的理念是「阻尼」和「阻尼」的「衰減」和「發散」差異,以及「臨界阻尼」和「臨界阻尼」的「有來回振盪」和「沒有來回振盪」的運動狀態差異。希望由本單元的探討,讀者能夠初步了解不同阻尼」的特徵,以及其不同振動「衰減收斂」、或「發散不穩定」現象的差異。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2019.08.07

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