這個單元要來探討的主題是：「有限元素分析」(Finite Element Analysis, FEA)的「元素」(element)、「節點」(node)、「自由度」(degree of freedom, DOF)是甚麼？有甚麼關聯性嗎？
為什麼要來討論這個主題呢？因為多數業界已經在使用CAE「電腦輔助工程分析」(Computer Aided Engineering, CAE)軟體，許多是採用FEM「有限元素法」(Finite Element Method, FEM)，所以常說FEA「有限元素分析」(Finite Element Analysis,
FEA)。
參閱圖片右上方，摘錄自先前單元：#297，【如何從「數學模型」定義「有限元素模型」？心法：「有限元素模型」4項要素】，所探討的結構案例：樑置於兩端基座上受均佈壓力之靜力分析，就是採用CAE / FEA軟體進行分析。
進行分析，可以應用【F → GMBI → R】心法：其中，F代表的是外力(Force)、輸入(Input)、激振源(Source)；GMBI就是系統資訊，分別是幾何(Geometry)、材料(Material)、邊界(Boundary)、接觸介面(Interface)；R就是系統的輸出(output)、響應(Response)。
由【F → GMBI → R】心法，對「實際結構」進行「問題定義」(Problem Definition)，並取得對應於「實際結構」的「數學模型」(Mathematical Model)。再建構其「有限元素模型」(Finite Element Model)，經CAE / FEA軟體進行分析，可得到如圖示的結構應力分布狀態。
不過，學生或工程師在使用CAE / FEA軟體進行分析，對「元素」、「節點」、「自由度」名詞混淆、或有誤解。過去單元，有提過構想的「有限元素模型」(Finite Element Model)很重要，可透過4項要素的心法：EMCL，思考：(1) Element 元素，(2)Mesh 元素分割，(3) Constraints 位移限制，(4) Loading 負荷條件。
這個單元的目標，就是來釐清「元素」(element)、「節點」(node)、「自由度」(degree of
freedom, DOF)的差異。
首先，統整一下各個名詞的中英文對照：
1. Computer Aided Engineering = CAE =「電腦輔助工程分析」
2. Finite Element Method = FEM =「有限元素法」
3. Finite Element Analysis =
FEA =「有限元素分析」
以上三個名詞，有點像似同義詞，不過，意義上略有差異，讀者可以自行體會。
在先前單元：#430，【「數學模型」和「有限元素模型」有甚麼不同？】，簡介結構分析步驟，摘錄採用CAE / FEA軟體進行分析的步驟，說明如下：
1. 定義「實際結構」與「分析目標」
2. 建構「數學模型」
3. 建構「有限元素模型」
4. CAE/FEA軟體應用分析
5. 結果討論
6. 結論與建議
與本單元要探討的主題重點：「元素」(element)、「節點」(node)、「自由度」(degree of
freedom, DOF)是甚麼？有甚麼關聯性嗎？需要特別注意第3個步驟：建構「有限元素模型」(Finite Element Model)。
如前述，建構「有限元素模型」的心法：EMCL：(1) Element 元素，(2)Mesh 元素分割，(3) Constraints 位移限制，(4) Loading 負荷條件。
由(1)
Element 元素，參閱圖片中間圖示的「元素」(element)與「節點」(node)，說明如下：
1. 本案例的一個「元素」，是立方體形狀(Hexahedron)，會有多個「節點」組成，稱為立方體元素(Hexahedron solid element)，因為是立體形狀，也有簡稱實體元素(solid element)。
2. 「節點」的類型，有：(1) corner node 角節點，(2) body node 體內節點，(3) side node 邊節點。
3. 常見的最左邊的示意圖，只有corner node 角節點的元素，是線性元素(Linear element)。如果還多了side node 邊節點的元素，是二次元素(Quadratic element)。這是根據不同形狀函數(shape function)的次方數而定。
4. 也有角椎體形狀(Tetrahedron)，也是有多個「節點」組成，稱為角椎體元素(Tetrahedron solid element)，當然也是實體元素(solid element)。
5. 所以，可以知道，「有限元素模型」的(1) Element 元素，就自動包含了「節點」(node)。
接著，再參閱圖片中間下方的圖示，有關「節點」(node)的「自由度」(degree of
freedom, DOF)，說明如下：
1. 一個質點的DOF「自由度」，通則來說，會有6個DOFs「自由度」。
2. 3個是平移的DOFs「自由度」，包括：(𝒙,𝒚,𝒛)
三個方向的位移，表示為(𝒖,𝒗,𝒘)。
3. 3個是旋轉的DOFs「自由度」，包括：(𝒙,𝒚,𝒛)
三個方向的旋轉角度，表示為(𝜽𝒙,𝜽𝒚,𝜽𝒛)。
4. 雖然，通則來說，會有6個DOFs「自由度」，但不是每個「元素」的「節點」之「自由度」會有全部的6個DOFs。
參閱圖片右下方的圖示，舉例來說，分別是：
1. 「線性立方體元素」(Linear Hexahedron Solid Element)：在ANSYS軟體的元素代號是SOLID185。有8個corner node 角節點，每個「節點」有3個平移的DOFs「自由度」，就是三個方向的位移(𝒖,𝒗,𝒘)。所以，一個SOLID185元素，有24個DOFs。
2. 「二次立方體元素」(Quadratic Hexahedron Solid Element)：在ANSYS軟體的元素代號是SOLID186。有8個corner node 角節點，以及12個side node 邊節點，共有20個「節點」。每個「節點」有3個平移的DOFs「自由度」，就是三個方向的位移(𝒖,𝒗,𝒘)。所以，一個SOLID186元素，有60個DOFs。此二次元素，常用於所謂的「p-收斂」(p-convergence)的「收斂性分析」(convergence analysis)。有關此議題，再另闢單元討論。
在圖示呈現的案例分析，實際上是採用SOLID185「線性立方體元素」(Linear Hexahedron Solid Element)。
綜合一下這個單元的討論，主要在釐清「元素」(element)、「節點」(node)、「自由度」(degree of
freedom, DOF)的差異，以及其間的關聯性，總結如下：
1. 熟悉並區別三個重要的英文縮寫：CAE、FEM、FEA之間的差異。(1) CAE「電腦輔助工程分析」(Computer Aided Engineering, CAE)。(2) FEM「有限元素法」(Finite Element Method, FEM)。(3) FEA「有限元素分析」(Finite Element Analysis, FEA)。
2. 瞭解建構「有限元素模型」(Finite Element Model)的需要性：結構的「有限元素模型」中，包含了許多的「元素」(element)，而每個元素會有多個「節點」(node)，而每個節點會有多個「自由度」(degree of freedom, DOF)。
3. 介紹了兩個常用的實體元素(solid element)：(1)「線性立方體元素」(Linear Hexahedron Solid Element)，有8個「節點」，每個「節點」有3個平移的DOFs「自由度」，就是(𝒖,𝒗,𝒘)，共24個DOFs。(2) 「二次立方體元素」(Quadratic Hexahedron Solid Element)，有20個「節點」，每個「節點」有3個平移的DOFs「自由度」，就是(𝒖,𝒗,𝒘) ，共60個DOFs。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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