《振動噪音產學技術聯盟》「數學模型」和「有限元素模型」有甚麼不同？

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這個單元要來探討的主題是：「數學模型」(mathematical model)和「有限元素模型」(Finite Element Model)有甚麼不同？

 

為什麼會來探討這個主題呢？在上CAE「電腦輔助工程分析」(computer aided engineering, CAE)課程中，許多人對「數學模型」和「有限元素模型」這兩個名詞，會混淆、甚至誤解。

 

這個單元的目標，就是來釐清「數學模型」和「有限元素模型」的差異。

 

首先，看一下名詞中英文對照：

 

1.      Mathematical Model「數學模型」，簡稱Math Model。

2.      Finite Element Model「有限元素模型」，簡稱FE Model。

 

參閱圖片右邊上方圖示，摘錄自先前單元：#297，【如何從「數學模型」定義「有限元素模型」？心法：「有限元素模型」4項要素】，所探討的結構案例：樑置於兩端基座上受均佈壓力之靜力分析，參閱圖示右上方的示意圖，說明如下：

 

1.      已經應用【F → GMBI → R】心法，完成了「實際結構」(real structure)的「問題定義」(Problem Definition)，以及對應於「實際結構」的「數學模型」(Mathematical Model)。

2.      【F → GMBI → R】：其中，F代表的是外力(Force)、輸入(Input)、激振源(Source)；GMBI就是系統資訊，分別是幾何(Geometry)、材料(Material)、邊界(Boundary)、接觸介面(Interface)；R就是系統的輸出(output)、響應(Response)。

 

要使用CAE/FEA軟體於應用分析之前，必須先有構想的「有限元素模型」(Finite Element Model)，需要的心法是「有限元素模型」4項要素：EMCL，其對應「數學模型」的【F → GMBI → R】，簡述如下：

 

1.      Element 元素 → GMI

2.      Mesh 元素分割 → GM

3.      Constraints 位移限制 → B

4.      Loading 負荷條件 → F

 

以上，討論的就是「數學模型」(Mathematical Model)的【F → GMBI → R】心法，以及「有限元素模型」(Finite Element Model)的【EMCL】心法。兩個模型，是有明確的差異。

 

其次，從結構分析步驟來看，說明如下：

 

1. 定義「實際結構」與「分析目標」

2. 建構「數學模型」

a. 理論解析：

3. 推導運動方程式

4. 數值解析

b. CAE/FEA分析：

3. 建構「有限元素模型」

4. CAE/FEA軟體應用分析

5. 結果討論

6. 結論與建議

 

不論是【理論解析】或是【CAE/FEA分析】，都有步驟3.和4.，整體的分析流程，共有6個步驟。

 

參閱圖片中間下方圖示，摘錄自先前單元：#289，【如何進行結構的「靜力分析」？】，採用【CAE/FEA分析】，參照步驟編號，說明如下：

 

1.      對「實際結構」(real structure)，定義問題(Problem Definition)以及界定分析目標(Analysis Objective)。

2.      建構對應於「實際結構」的「數學模型」(Mathematical Model)。

3.      建構「有限元素模型」(Finite Element Model)。

4.      使用CAE/FEA軟體於應用分析。可以得到結構變形與結構應力狀態。

 

由以上分析步驟來看，可以進一步釐清「數學模型」與「有限元素模型」的差異：

 

l  「數學模型」(mathematical model)：由步驟2.，是對「實際結構」透過適當的假設(assumptions)，所得到的分析模型。並期望，由此「數學模型」來進行分析，以瞭解「實際結構」的響應情形。

l  「有限元素模型」(Finite Element Model)：由步驟3.，在使用CAE/FEA軟體之前，先要有構想的「有限元素模型」，而且是對應於步驟2.所得到的「數學模型」。

 

參閱圖片右邊下方圖示，摘錄自先前單元：#296，【如何從「實際結構」定義「數學模型」 ？心法：FGMBIR】，案例：樑置於兩端基座上受均佈壓力之靜力分析，說明如下：

 

1.      立體元素3D Solid Element應用：「有限元素模型」採用立體元素，考慮3D幾何，進行分析。由於3D幾何和「實際結構」對應，在分析上，最直接、直覺，可以直觀的觀察結構響應狀態。

2.      平面元素2D Solid Element應用：「有限元素模型」採用平面元素，考慮2D幾何，因為，此案例之實際結構的負荷、幾何、材料、邊界、接觸介面，沿著樑寬度b方向，是均勻的，所以，可以簡化為2D平面元素的應用分析。

 

在此案例，呈現的是，相同的「實際結構」，不同的「數學模型」、不同的「有限元素模型」之案例分析。

 

綜合一下這個單元的討論，重點在：

 

1.      釐清「數學模型」(mathematical model)和「有限元素模型」(Finite Element Model)的差異。

2.      簡介「結構分析」的6個步驟，可以進一步了解：由「實際結構」(real structure)，做適當的假設(assumptions)，可以得到「數學模型」(mathematical model)。在使用CAE/FEA軟體於應用分析之前，需要先有對應於「數學模型」的「有限元素模型」(Finite Element Model)構想，才可在CAE/FEA軟體中體現，進行分析。

3.      舉例：樑置於兩端基座上受均佈壓力之靜力分析，呈現的是，相同的「實際結構」，不同的「數學模型」、不同的「有限元素模型」之案例分析。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2025.06.17

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