《振動噪音科普專欄》同點(Point)與轉移(Transfer)之頻率響應函數(FRF)有甚麼不同?

 這個單元要來探討的主題是:同點(Point)轉移(Transfer)頻率響應函數(frequency response function, FRF)有甚麼不同?

 

同點頻率響應函數」可以簡稱:Point FRF。而轉移頻率響應函數」可以簡稱:Transfer FRF

 

簡單說:同點Point FRF,是 𝒋 敲擊點輸入位置,和 𝒊 量測響應點輸出位置,兩者在相同位置,也就是𝒊= 𝒋轉移Transfer FRF,是 𝒋 敲擊點輸入位置,和 𝒊 量測響應點輸出位置,兩者不是在相同位置,也就是 𝒊𝒋

 

參閱圖示左上方,節錄自先前單元,#364:【如何求得結構的頻率響應函數?】。重點摘錄如下:

 

1.      如何求得:可以概分為分析」與「實驗」,兩種方法。

2.      結構:任意的結構,當然都可以分別由分析」與「實驗」,求得FRF頻率響應函數

3.      頻率響應函數(frequency response function, FRF)基本定義:𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭輸出𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭輸入。當然需要明確的定義出𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出以及𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入參數。讀者可參考先前單元,#363:【頻率響應函數有哪些種類(Types of FRFs)】。

 

左上方圖示摘錄的是頻率域(frequency domain)系統方塊圖–實驗分析,說明如下:

 

1.      𝒇𝒋 (𝒕)表示輸入的作用力:可以使用具有力感測器(force transducer)的衝擊槌(impact hammer),量測得到𝒇𝒋 (𝒕)敲擊外力時間波形。再透過FFTPSD的信號分析,即可得到如圖示的𝑮𝒋𝒋 (𝒇) 外力自身功率頻譜(auto PSD)

2.      𝒂𝒊 (𝒕)表示輸出的加速度響應:可以透過加速度規(accelerometer),黏貼在結構表面,量測到任意點的𝒂𝒊 (𝒕)加速度時間波形。再透過FFTPSD的信號分析,即可得到如圖示的𝑮𝒊𝒊(𝒇) 加速度自身功率頻譜(auto PSD)

3.      𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑮𝒋𝒊 (𝒇)/𝑮𝒋𝒋(𝒇) = FRF頻率響應函數:要注意,在實驗量測中,由於經過數位化處理(digitization),不能如理論分析,直接由傅立葉頻譜取得,必須由PSD功率頻譜,才能取得正確的FRF頻率響應函數。其中,𝑮𝒋𝒊 (𝒇)是輸入與輸出的交叉功率頻譜(cross PSD)。其中的𝑯𝒊𝒋 (𝒇) =FRF頻率響應函數,最常看到的圖示是𝑯𝒊𝒋 (𝒇)的振幅圖|𝑯𝒊𝒋 (𝒇)|

 

在進行EMA實驗模態分析(experimental modal analysis, EMA),參閱如中間上方圖示,為一個矩形鋼板結構的量測點規畫,共有15個量測點。採用「定規移槌(fixed sensor, roving actuator)的實驗方式:加速度規(accelerometer)固定在1號點位置,移動衝擊槌(impact hammer),依序敲擊在15個量測點,所以會取得15𝑯𝒊𝒋 (𝒇) =FRF頻率響應函數」,𝒊=1𝒋=1~15。量測到的FRF頻率響應函數」,其物理意義是:Accelerance加速率=加速度/外力」。

 

在前面有簡單的提到:同點Point FRF,就是𝒊= 𝒋轉移Transfer FRF,就是 𝒊𝒋。所以,在這矩形鋼板結構的量測點規畫,共有15個量測點。一定會有一個量測的FRF,會是同點Point FRF。而其他的14FRF,就會是轉移Transfer FRF

 

這個單元主要的重點,就是在探討同點Point FRF以及轉移Transfer FRF,兩者之間有甚麼差異?

 

往下討論之前,讀者可以回顧先前單元,#365:【如何繪圖呈現與解讀結構的頻率響應函數?】,有完整的討論。因為,FRF頻率響應函數」是複數(complex number),所以,會有三組圖示的呈現方式:

 

1.      波德圖(Bode plot):包含了振幅(amplitude)圖以及相位角(phase angle)圖,水平軸都是頻率,單位=Hz振幅(amplitude)圖之垂直軸,可以是以對數座標(logarithmic scale)呈現,或是以線性座標(linear scale)呈現。

2.      實數部(real)以及「虛數部(imaginary)圖:水平軸都是頻率,單位=Hz

3.      奈氏圖(Nyquist plot),或稱為「極座標圖(polar plot):水平軸是「實數部」、垂直軸是「虛數部」, FRF的曲線圖,會形成一個「圓圈」,所以也有稱之為circle plot。在Accelerance加速率」,「虛數部」最大值的頻率點,就是結構的「自然頻率」。

 

參閱圖示左下方是,𝒊𝒋 轉移Transfer FRF,取的是𝒊=1𝒋=2。圖示右下方是,𝒊= 𝒋 同點Point FRF取的是𝒊=1𝒋=1。分別有6個圖示:

 

1.      振幅(amplitude),垂直軸是以對數座標(logarithmic scale)呈現:

2.      相位角(phase angle)圖:

3.      實數部(real)圖:

4.      虛數部(imaginary)圖:

5.      奈氏圖(Nyquist plot),或稱為「極座標圖(polar plot)

6.      振幅(amplitude),垂直軸是以線性座標(linear scale)呈現:

 

以下,分別就 𝒊𝒋 轉移Transfer FRF,以及 𝒊= 𝒋 同點Point FRF,針對以上圖示,做倆倆之間的比較說明。

 

振幅(amplitude),垂直軸是以對數座標(logarithmic scale)呈現:「共振點(Resonance point)都可以明顯辨識到,結構的4𝒇𝒏自然頻率」,所以,在量測的頻率範圍,有4個「振動模態(vibration modes)。在𝒊= 𝒋 同點Point FRF,倆倆的「共振點(Resonance point)之間,都會有一個「反共振點(Anti-Resonance point)。反觀 𝒊𝒋 轉移Transfer FRF,只有出現2反共振點」。

 

相位角(phase angle)圖:已知在共振點」與「反共振點」,都會有180度的相位角變化,從圖示可以觀察到,𝒊𝒋 轉移Transfer FRF,以及 𝒊= 𝒋 同點Point FRF,兩者之間確實有這樣的特徵。

 

實數部(real)圖:由於量測到的FRF頻率響應函數」,其物理意義是:Accelerance加速率=加速度/外力」,所以,結構的𝒇𝒏自然頻率會出現在,通過0」的頻率。𝒊𝒋 轉移Transfer FRF,以及 𝒊= 𝒋 同點Point FRF,兩者之間確實都有這樣的特徵。

 

再仔細觀察實數部(real)圖,在𝒊𝒋 轉移Transfer FRF4個交叉0」的曲線變化,依序是:負到正、正到負、負到正、負到正。而𝒊= 𝒋 同點Point FRF4個交叉0」的曲線變化,依序都是:正到負,這個是𝒊= 𝒋 同點Point FRF才有的特徵。

 

虛數部(imaginary)圖:由於量測到的FRF頻率響應函數」,其物理意義是:Accelerance加速率=加速度/外力」,所以,結構的𝒇𝒏自然頻率會出現在,有最大峰值」的頻率。𝒊𝒋 轉移Transfer FRF,以及 𝒊= 𝒋 同點Point FRF,兩者之間確實都有這樣的特徵。

 

再仔細觀察虛數部(imaginary),在𝒊𝒋 轉移Transfer FRF4峰值」的正負值,依序是:正、負、正、正。而𝒊= 𝒋 同點Point FRF4峰值」的正負值,依序都是:負,這個是𝒊= 𝒋 同點Point FRF才有的特徵。

 

奈氏圖(Nyquist plot),或稱為「極座標圖(polar plot):因為,每一個「振動模態(vibration modes),就會形成的每一個「圓圈」,因此,都可以觀察到有4個「圓圈」,對應的就是結構的4個「振動模態」。要區別哪一個「圓圈」是哪一個「振動模態」,就要繪製垂直軸是以線性座標(linear scale)呈現的振幅(amplitude),每個「振動模態」的峰值大小,可以區別出對應的「振動模態」。每一個「圓圈」有最大振幅的頻率點,或是虛數部的峰值頻率,就可以取得𝒇= 𝒇𝒏自然頻率

 

再仔細觀察奈氏圖(Nyquist plot),在𝒊𝒋 轉移Transfer FRF4圓圈」所在位置的象限,以水平軸的上下來看,依序是:上、下、上、上。而𝒊= 𝒋 同點Point FRF4圓圈」所在位置的象限,以水平軸的上下來看,依序都是:下,這個是𝒊= 𝒋 同點Point FRF才有的特徵。

 

振幅(amplitude),垂直軸是以線性座標(linear scale)呈現:是觀察不到「反共振點」的現象。所以,在觀察FRF頻率響應函數」,一般建議:垂直軸是以對數座標(logarithmic scale)呈現。不過,如果想要觀察各個「振動模態(vibration modes)的振動響應大小,就可以採用線性座標(linear scale)呈現。

 

最後綜合一下這個單元,在探討:𝒊𝒋 轉移Transfer FRF,以及 𝒊= 𝒋 同點Point FRF,總結如下:

 

1.      振幅(amplitude),垂直軸是以對數座標(logarithmic scale)呈現:在 𝒊= 𝒋 同點Point FRF,倆倆的「共振點(Resonance point)之間,都會有一個「反共振點(Anti-Resonance point)。反觀, 𝒊𝒋 轉移Transfer FRF,只可能出現部分的反共振點」。

2.      相位角(phase angle)圖:在共振點」與「反共振點」,都會有180度的相位角變化。在 𝒊= 𝒋 同點Point FRF,倆倆的「共振點(Resonance point)之間,都會有一個「反共振點(Anti-Resonance point),所以會有比較多的180度相位角變化。

3.      實數部(real)圖:在𝒊= 𝒋 同點Point FRF,結構的𝒇𝒏自然頻率會出現在,通過0」的頻率。同時,所有的「振動模態(vibration modes)交叉0」之曲線變化,依序都會是:正到負。反觀, 𝒊𝒋 轉移Transfer FRF,交叉0」之曲線變化,是正到負、或負到正,沒有規律性。

4.      虛數部(imaginary)圖:在𝒊= 𝒋 同點Point FRF,結構的𝒇𝒏自然頻率會出現在,有最大峰值」的頻率。同時,所有的「振動模態(vibration modes)的「峰值」的正負值,依序都會是:負。反觀, 𝒊𝒋 轉移Transfer FRF,其峰值」的正負值,沒有規律性。

5.      奈氏圖(Nyquist plot),或稱為「極座標圖(polar plot)𝒊= 𝒋 同點Point FRF,每一個「振動模態(vibration modes),所形成的每一個「圓圈」,所在位置的象限,以水平軸的上下來看,依序都是:下。反觀, 𝒊𝒋 轉移Transfer FRF,其形成的每一個「圓圈」,在上、在下,沒有規律性。

6.      振幅(amplitude),垂直軸是以線性座標(linear scale)呈現:是觀察不到「反共振點」的現象。所以,在觀察FRF頻率響應函數」,一般建議:垂直軸是以對數座標(logarithmic scale)呈現。不過,如果想要觀察各個「振動模態(vibration modes)的振動響應大小,就可以採用線性座標(linear scale)呈現。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2024.04.05

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